Question

1.В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найти площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.2.В треугольнике ABC медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите его площадь, если АМ=m, BN=n.3.В треугольнике ABC медиана АМ и биссектриса CL пересекаются в точке О под прямым углом. Найти площадь треугольника LMO если площадь ABC равна 1.4. Определите площадь треугольника если две стороны соответственно равны 27 и 29, а медина третьей стороны 26.5.Точки E, F, M расположенны соответственно на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC. Отрезок AE составляет 1/3 стороны AB, отрезок BF составляет 1/6 BC, отрезок АМ составляет 2/5 AC. Найти отношение площади треугольника EFM к площади треугольника ABC.

Answer 1

При решении я предполагаю, что автору задачи известно, что медианы делят треугольник на шесть, равных по площади, как отностятся площади треугольников, если есть общая высота и прочее... если что будет не понятно - спршивайте.

1. Skldc = (1/3)*Sabc = 8;

2. (3/4)*Sabc = m*n/2 (прямая MN - средняя линяя, и отсекает четверть площади треугольника); Sabc = 2*m*n/3;

3. Треугольники СОА и СОМ равны - это прямоугогльные треугольники с равными углами и общим катетом. АО = ОМ, поэтому треугольники АОL и LOM тоже равны. 

Но самое главное, BL/AL = СВ/АС = 2*CM/AC = 2*MO/OA = 2.

Поэтому Smlb = 2*Smla = 4*Solm, а Smlb + Smla = Sabc/2;

Имеем

4*Solm + 2*Solm = Sabc/2; Solm = 1/12;

4. Это то же самое, что найти площадь треугольника со сторонами 27,29 и 26*2 = 52; понять это очень просто - треугольник достраивается до параллелограмма (медиану продолжаем за основание на свою длину и соединяем полученную точку с концами сторон). Диагонали делят праллелограмм на 2 части, равные по площади. Поэтому и получается, что площадь треугольника со сторонами a,b и медианой m равна площади треугольника со сторонами a, b и 2*m. Считаем по формуле Герона (слава Гейтсу, есть Excel) полупериметр p= 54, p-a = 27;p-b = 25; p - c1 = 2; (c1  это 52 = 2*26); ясно видно, что произведение равно 27^2*100, то есть площадь 270.

5. Всё, что надо знать - формула S = a*b*sinC/2; Доли площадей треугольников АЕМ EBF и MFC от площади АВС определяются именно по ней, к примеру

Saem = (1/3)*AB*(2/5)*AC*sinC/2 = (1/3)*(2/5)*Sabc;

Sefm/Sabc = 1 - (1/3)*(2/5) - (2/3)*(1/6) - (5/6)*(3/5) = 23/90; 

Answer 2

Задача 1: Площадь четырехугольника KCDL

В данной задаче требуется найти площадь четырехугольника KCDL, если известна площадь треугольника ABC и точка L, в которой пересекаются медианы AK и BD.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что медиана AK пересекает медиану BD в точке L.

Шаг 2: По свойствам медиан треугольника, точка L делит медиану BD на две равные части. Поэтому, BL = LD.

Шаг 3: Также, по свойствам медиан треугольника, точка L делит медиану AK на две равные части. Поэтому, AL = LK.

Шаг 4: Из шагов 2 и 3 следует, что треугольник ABL равнобедренный, так как AL = LK и BL = LD.

Шаг 5: Теперь рассмотрим четырехугольник KCDL. Мы знаем, что треугольник ABC имеет площадь 24.

Шаг 6: По свойствам равнобедренного треугольника ABL, мы можем сказать, что угол LBA равен углу LDA, так как соответствующие основания равны.

Шаг 7: Поэтому, угол KLD равен углу KCD, так как они являются вертикальными углами.

Шаг 8: Таким образом, у нас есть два треугольника равных по двум сторонам и углу между ними (треугольники KLD и KCD).

Шаг 9: Известно, что площадь треугольника ABC равна 24, что означает, что площадь треугольника KCD равна половине площади треугольника ABC (так как треугольники KLD и KCD равны).

Шаг 10: Поэтому, площадь четырехугольника KCDL равна удвоенной площади треугольника KCD, то есть 2 * (0.5 * 24) = 24.

Таким образом, площадь четырехугольника KCDL равна 24.

Задача 2: Площадь треугольника ABC, где AM перпендикулярна BN

В данной задаче требуется найти площадь треугольника ABC, если медиана AM перпендикулярна медиане BN.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что медиана AM перпендикулярна медиане BN.

Шаг 2: По свойствам медиан треугольника, пересечение медиан делит каждую медиану на две равные части. Поэтому, AM = MB и BN = NC.

Шаг 3: Так как AM = MB и BN = NC, то треугольник ABC является равнобедренным, так как две его стороны равны.

Шаг 4: По свойствам равнобедренного треугольника, высота, опущенная из вершины против основания, перпендикулярна основанию.

Шаг 5: Так как AM перпендикулярна BN, то треугольник AMB является прямоугольным треугольником.

Шаг 6: Площадь прямоугольного треугольника AMB можно найти по формуле: площадь = 0.5 * AB * MB.

Шаг 7: Так как AM = MB, то площадь прямоугольного треугольника AMB равна 0.5 * AB * AM.

Шаг 8: Поэтому, площадь треугольника ABC равна площади прямоугольного треугольника AMB, то есть 0.5 * AB * AM.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 0.5 * AB * AM.

Задача 3: Площадь треугольника LMO, где AM и CL пересекаются под прямым углом

В данной задаче требуется найти площадь треугольника LMO, если медиана AM и биссектриса CL пересекаются в точке O под прямым углом и известна площадь треугольника ABC.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что медиана AM и биссектриса CL пересекаются в точке O под прямым углом.

Шаг 2: По свойствам медиан треугольника, точка O делит медиану AM на две равные части. Поэтому, AO = OM.

Шаг 3: Также, по свойствам биссектрисы треугольника, точка O делит биссектрису CL на две части, пропорциональные сторонам треугольника. Поэтому, CO/OB = CL/BL.

Шаг 4: Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Поэтому, площадь треугольника OBC равна половине площади треугольника ABC, то есть 0.5.

Шаг 5: По свойствам биссектрисы треугольника, площадь треугольника OBC можно найти по формуле: площадь = 0.5 * BC * CO * sin(OBC).

Шаг 6: Так как угол OBC прямой, то sin(OBC) = 1.

Шаг 7: Поэтому, площадь треугольника OBC равна 0.5 * BC * CO.

Шаг 8: Также, по свойствам медиан треугольника, площадь треугольника OAM равна 0.5 * AB * AO.

Шаг 9: Из шагов 2 и 3 следует, что треугольник OAM и треугольник OBC равны по двум сторонам и углу между ними.

Шаг 10: Поэтому, площадь треугольника OAM равна площади треугольника OBC.

Шаг 11: Таким образом, площадь треугольника LMO равна удвоенной площади треугольника OAM (так как треугольники OAM и LMO равны), то есть 2 * (0.5 * AB * AO) = AB * AO.

Таким образом, площадь треугольника LMO равна AB * AO.

Задача 4: Площад