Question

Точки A и B -середины диагоналей трапеции KPNM Найдите дллинну меньшего основания PN ,если AB=5 и KM=16

Answer 1

KPNM - трапеция,  PN║KM ,  KM=16 .
AK=AN ,  BM=BP ,  AB=5 .
  Продолжим отрезок АВ до пересечения его со сторонами трапеции
  КР и NM . Получим отрезок СД.
   Так как средняя линия трапеции проходит и через середины диагоналей трапеции, то отрезок АВ лежит на средней линии, которой будет отрезок  СД и тогда АВ║КМ. 
 Точка Д - середина NM, т.к.  она лежит на продолжении АВ и
  тогда АД║КМ.
 По теореме Фалеса стороны ∠KNM пересечены параллельными отрезками АД  и КМ  ⇒  точка Д - середина NM, раз точка А - середина KN. Аналогично, точка С - середина КР . 
ΔKNM:  BД - средняя линия ΔKNM ,BД║КМ, ВД=1/2*КМ=1/2*16=8.
ΔKPM:  CB - средняя линия ΔKPM , CB║KM , CB=1/2*КМ=1/2*16=8.
СА=СВ-АВ=8-5=3
ВД=ВД-АВ=8-5=3
СД=СА+АВ+ВД=3+5+3=11
Средняя линия СД=(КМ+PN)/2=(16+PN)/2=11 ,
                                                       16+PN=2*11
                                                        16+PN=22
                                                              PN=6
Если знать свойство: длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований, то можно решить быстрее.
АB=(КМ-PN)/2  ,  5=(16-PN)/2  ,  16-PN=10  ,  PN=6 .

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами серединных перпендикуляров трапеции.

Свойство 1: Серединные перпендикуляры диагоналей трапеции пересекаются в точке, которая является серединой меньшего основания.

Свойство 2: Серединные перпендикуляры диагоналей трапеции равны по длине.

Пусть точка A - середина диагонали KP, а точка B - середина диагонали NM.

Так как AB = 5, то каждый из отрезков KA и KP также равен 5 (по свойству серединных перпендикуляров). Таким образом, KN = KA + AB + BP = 5 + 5 + BP = 10 + BP.

Также, KM = 16.

Теперь мы можем использовать треугольник KMN, в котором KM - диагональ трапеции, а KN - основание.

Применим теорему Пифагора в треугольнике KMN:

KN^2 + MN^2 = KM^2.

(10 + BP)^2 + MN^2 = 16^2.

100 + 20BP + BP^2 + MN^2 = 256.

BP^2 + 20BP + (100 - 256) = 0.

BP^2 + 20BP - 156 = 0.

Теперь давайте решим квадратное уравнение:

BP = (-20 ± √(20^2 - 4 * 1 * -156)) / 2.

BP = (-20 ± √(400 + 624)) / 2.

BP = (-20 ± √1024) / 2.

BP = (-20 ± 32) / 2.

Так как длина отрезка BP не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение:

BP = (32 - 20) / 2.

BP = 12 / 2.

BP = 6.

Таким образом, длина меньшего основания PN равна 6.