Question

КАК МОЖНО БЫСТРЕЕ!!! ДАЮ 44 БАЛЛА!!! Биссектрисы углов, принадлежащих к большому основанию равнобокой трапеции, пересекаются в точке меньшего основания трапеции. Расстояние от точки М до меньшего основания трапеции больше расстояния от М до другого основания трапеции и равно расстоянию от нее до каждой из прямых, содержащих ее боковые стороны. Найдите расстояние от М до большего основания трапеции, если его длина 8, а боковая сторона трапеции равна 3

Answer 1

P - точка пересечения биссектрис. Биссектриса внутреннего угла при параллельных отсекает равнобедренный треугольник.

AB=BP=PC=CD=3, BC=6

Опустим высоту BH на AD.

AH=(AD-BC)/2 =(8-6)/2 =1

BH=√(AB^2-AH^2) =√(9-1) =2√2

Точка M равноудалена от прямых AB, BC, CD, следовательно лежит на биссектрисах углов ABC и BCD. Эти биссектрисы делят равные углы пополам и образуют равнобедренный треугольник. MP - серединный перпендикуляр к BC.

В равнобедренном треугольнике ABP биссектриса BM является серединным перпендикуляром к AP. AM=PM, △BAM=△BPM по трем сторонам, ∠BAM=∠BPM=90.

MP пересекает AD в точке N.

∠MAN=90-∠BAD=∠ABH, △MAN~△ABH

MN/AH=AN/BH => MN=4/2√2 =√2

Answer 2

Пусть ABCD - равнобокая трапеция с основаниями AB и CD, причем AB > CD. Пусть E и F - точки пересечения биссектрис углов BAC и ACD соответственно. Тогда EM - биссектриса угла AEB, и она пересекает BC в точке K. Аналогично, FM - биссектриса угла CFD, и она пересекает BC в точке L. Поскольку ABCD - равнобокая трапеция, то AK = BL, и поэтому KM = ML. По условию, EM = FM, поэтому KM = LM = EM = FM. Пусть KM = x. Тогда KM = LM = EM = FM = x.

Обозначим через P и Q середины сторон AD и BC соответственно. Тогда AP = \frac{1}{2}AB = 4 и BQ = \frac{1}{2}(AB - CD) = \frac{1}{2}(8 - 3) = \frac{5}{2}. Из прямоугольного треугольника BQM получаем

$MQ^2 = BQ^2 - BM^2 = \frac{25}{4} - x^2.$

Аналогично, из треугольника AMP получаем

$MP^2 = AP^2 - AM^2 = 16 - x^2.$

По условию, $MP = MQ = x$. Поэтому,

$16 - x^2 = \frac{25}{4} - x^2,$

откуда $x^2 = \frac{9}{4}$ и $x = \frac{3}{2}.$

Таким образом, расстояние от точки М до большего основания трапеции равно

$AM - AP = \frac{3}{2} - 4 = -\frac{5}{2}.$

Ответ: $-\frac{5}{2}$.