Question

Найти координаты вектора m в ортонормированном базисе i, j, k, если известно, что m * i = 3, [m * i] = -2k.

Answer 1

Надо найти компоненты вектора m = xi + yj + zk

Скалярное произведение m*i = x*1 + y*0 + z*0 = x = 3, то есть x=3

Векторное произведение имеет составляющую только при орте k то z = 0, а y находим из компонента при k:  x*0 - y*1 = -2 или y = 2

Получается m = 3i + 2j + 0k

Answer 2

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами ортонормированного базиса.

Ортонормированный базис обладает следующими свойствами:

1. Его векторы образуют ортогональную систему, то есть скалярное произведение любых двух различных векторов равно нулю.
2. Длина каждого вектора равна 1, то есть они нормированы.

В данном случае, у нас есть вектор m и ортонормированный базис i, j, k.

Известно, что m * i = 3 и [m * i] = -2k.

Запись [m * i] означает проекцию вектора m на ось i.

Согласно свойству ортонормированного базиса, проекция вектора m на ось i равна скалярному произведению между векторами m и i.

Таким образом, m * i = |m| * |i| * cos(угол между векторами m и i).

В ортонормированном базисе |i| = |j| = |k| = 1, и угол между любыми различными векторами равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим проекцию [m * i]. Это вектор, который лежит на оси k (вектор k имеет координаты (0, 0, 1)) и имеет длину 2.

Таким образом, [m * i] = (0, 0, 2).

Теперь мы можем найти вектор m.

Так как вектор m * i равен 3, то длина вектора m равна 3:

|m| = 3.

Также, согласно свойствам ортонормированного базиса, вектор m представим в виде:

m = (m * i) * i + (m * j) * j + (m * k) * k.

Учитывая, что m * i = 3, m * j = 0 (так как i и j ортогональны), и [m * i] = -2k, мы можем записать:

m = 3 * i + 0 * j - 2 * k.

Таким образом, координаты вектора m в ортонормированном базисе i, j, k равны (3, 0, -2).