Question

Образующая усеченного конуса равна L и наклонена к плоскости основания под углом 60°,отношение площадей его оснований равно 4.Найдите площадь полной поверхности этого усеченного конуса.

Answer 1

S бок = n*L*(r1 + r2)

r1 > r2

n*(r1)^2 / n*(r2)^2 = 4

r1=2*r2

катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы

r1 = r2 + 2*(L/2) = r2 + L

2*r2 = r2 + L

r2 = L     r1=2*L

S1=n*(r1)^2 = 4n*L^2

S2=n*(r2)^2 =n*L^2

S бок =n*(L + 2L)*L = 3*L^2 *n

S полн = n*L^2 *(4 + 1 + 3) = 8n*L^2

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади полной поверхности усеченного конуса.

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S = π(R + r) * L,

где S - площадь полной поверхности, R и r - радиусы оснований конуса, а L - образующая конуса.

У нас есть отношение площадей оснований:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{r^2} = 4$.

Так как нам дано, что угол наклона образующей к плоскости основания равен 60°, то можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для усеченного конуса.

Из прямоугольного треугольника с углом наклона 60°, обозначим высоту усеченного конуса за $h$, а радиус меньшего основания (r) за $R_1$. Тогда:

$\sin 60° = \frac{R_1}{h}$,

$h = \frac{R_1}{\sin 60°} = \frac{R_1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2 \cdot R_1}{\sqrt{3}}$.

Из теоремы Пифагора для треугольника с углом наклона 60°:

$R^2 = R_1^2 + h^2 = R_1^2 + \left(\frac{2 \cdot R_1}{\sqrt{3}}\right)^2 = R_1^2 + \frac{4 \cdot R_1^2}{3} = \frac{7 \cdot R_1^2}{3}$.

Отсюда:

$R_1^2 = \frac{3}{7} \cdot R^2$.

Теперь, зная это отношение радиусов оснований, можем найти $r$:

$r^2 = \frac{3}{7} \cdot R^2$.

Теперь, подставляя найденные значения радиусов в формулу площади поверхности усеченного конуса, получим:

$S = \pi(R + r) \cdot L = \pi(R + \sqrt{\frac{3}{7} \cdot R^2}) \cdot L$.

Таким образом, площадь полной поверхности усеченного конуса равна $\pi(R + \sqrt{\frac{3}{7} \cdot R^2}) \cdot L$.