Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу МЕТОДОМ КООРДИНАТ! Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=20, АС=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР:РВ1=1:3. а) Пусть M - середина А1С1. Докажите, что прямые MP и АС перпендикулярны. б) Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.

Answer 1

Пусть А - начало координат.
Ось Х - АС
Ось У - перпендикулярно Х в сторону В
Ось Z + AA1

Координата Р (16;12;6)

Вектора
АС(32;0;0)
МР(0;12;-18)
перпендикулярны так как их скалярное произведение 0

Уравнение плоскости
А1В1С1
z=24

ACP - проходит через 0
аx+by+cz=0
Подставляем координаты точек С и Р
32a=0 a=0
16a+12b+6c=0
Пусть b=-1 тогда с=2
-y+2z=0

Косинус искомого угла равен
2/√(1+4)= 2/√5
Синус
√(1-4/5)= 1/√5
Тангенс
1/2

Answer 2

Для решения задачи методом координат будем использовать пространственную систему координат. Пусть точка A (0, 0, 0), точка B (10, 0, 0), точка C (16, 12, 0) (так как АВ=ВС=20, АС=32, то можно легко найти координаты точки C). Тогда точка A1 будет иметь координаты A1(0, 0, 24), точка B1 (10, 0, 24) и точка C1 (16, 12, 24).

а) Докажем, что прямые MP и АС перпендикулярны, где M - середина A1C1.

Середина A1C1 имеет координаты M(8, 6, 12) (среднее арифметическое координат вершин A1 и C1).

Вектор MP будет равен:

MP = P - M

где P - точка на прямой B1V1, заданная как P(10, 0, 3.6) (так как BV1:VP=1:3, B1V1=24, тогда B1P=6 и VP=3.6).

MP = (10, 0, 3.6) - (8, 6, 12) = (2, -6, -8.4)

Теперь найдем вектор АС:

AC = C - A = (16, 12, 0) - (0, 0, 0) = (16, 12, 0)

Для того чтобы векторы MP и АС были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0:

MP * AC = 0

(2, -6, -8.4) * (16, 12, 0) = 2 * 16 + (-6) * 12 + (-8.4) * 0 = 32 - 72 = -40

Так как скалярное произведение не равно 0, векторы MP и АС не перпендикулярны.

б) Найдем тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.

Вектор нормали к плоскости А1В1С1 будет равен векторному произведению двух векторов, лежащих в этой плоскости. Возьмем, например, векторы AB1 (10, 0, 24) и AC1 (16, 12, 24):

N1 = AB1 x AC1

N1 = |i j k | |10 0 24 | |16 12 24|

N1 = i * (0 * 24 - 12 * 24) - j * (10 * 24 - 16 * 24) + k * (10 * 12 - 16 * 0)

N1 = i * (-288) - j * (-144) + k * 120

N1 = (-288i + 144j + 120k)

Теперь найдем вектор нормали к плоскости АСР. Для этого возьмем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости АСР. Векторы AR (10, 0, 3.6) и AP (10, 0, 0):

N2 = AR x AP

N2 = |i j k | |10 0 3.6 | |10 0 0 |

N2 = i * (0 * 0 - 0 * 3.6) - j * (10 * 0 - 10 * 0) + k * (10 * 0 - 10 * 0)

N2 = 0i + 0j + 0k

N2 = (0, 0, 0)

Так как вектор нормали к плоскости АСР равен нулю, это означает, что плоскость АСР параллельна плоскости А1В1С1, и угол между ними равен 0. Тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР равен 0.

В результате:

а) Прямые MP и АС не перпендикулярны. б) Тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР равен 0.