Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=2x^3+3x^2 -36x

Answer 1

Ищем производную
y'=6x²+6x-36
Приравниваем к нулю и делим на 6
x²+x-6=0
Корни
x= -3
x= 2 
Рисуем ось х и ставим на ней корни(рисунок ниже) ,а так же определяем знаки на промежутках
Наибольшее значение функции будет в точке,где  знак меняется с "+" на "-" ,и наоборот
Точка -3 - максимум и 2 - минимум

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = 2x^3 + 3x^2 - 36x, следует проанализировать ее поведение.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю: y = 2x^3 + 3x^2 - 36x y' = 6x^2 + 6x - 36

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю и решим уравнение: 6x^2 + 6x - 36 = 0

Для удобства разделим уравнение на 6: x^2 + x - 6 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 1, c = -6

x = (-(1) ± √(1^2 - 4(1)(-6))) / 2(1) x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2 x = (-1 ± √25) / 2 x = (-1 ± 5) / 2

Таким образом, получаем две критические точки: x = 2 и x = -3.

2. Для нахождения экстремумов функции (наибольшего и наименьшего значения) проверим знаки производной в интервалах между критическими точками.

a) Первый интервал: (-∞, -3) Проверим производную в точке x = -4 (возьмем значение из интервала): y' = 6(-4)^2 + 6(-4) - 36 y' = 96 - 24 - 36 y' = 36 (положительное значение)

b) Второй интервал: (-3, 2) Проверим производную в точке x = 0 (возьмем значение из интервала): y' = 6(0)^2 + 6(0) - 36 y' = -36 (отрицательное значение)

c) Третий интервал: (2, +∞) Проверим производную в точке x = 3 (возьмем значение из интервала): y' = 6(3)^2 + 6(3) - 36 y' = 54 + 18 - 36 y' = 36 (положительное значение)

3. Сводная таблица знаков производной: | Интервал | -∞ | -3 | 2 | +∞ | |:------------:|:------:|:------:|:------:|:------:| | y'(x) | + | - | + | + |

4. Итак, имеем следующее поведение функции:

• На интервале (-∞, -3) производная y' положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.
• На интервале (-3, 2) производная y' отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.
• На интервале (2, +∞) производная y' снова положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

5. Окончательно, наименьшее значение функции находится в точке x = -3, а наибольшее значение функции в точке x = 2.

Вычислим значения функции в этих точках:

• Для x = -3: y = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = -27 + 27 + 108 = 108.

• Для x = 2: y = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 16 + 12 - 72 = -44.

Итак, наименьшее значение функции y равно -44, а наибольшее значение функции y равно 108.