Question

Прошу срочной помощи(60 Баллов!) . Нужно исследовать функцию и сделать чертеж. 2x^3-3x^2-36x+2 1) Найти область определения 2) чётность, нечётность функции. 3) порядочность функции. 4) интервалы монотонности и точки экстремума 5) интервалы выпуклой и вогнутой, точки перегиба 6) асимптоты графика функции 7) точки пересечения с осями 8) построение графика функции.

Answer 1

Ответ:

=================================

Объяснение:

Answer 2

Хорошо, давайте разберемся с исследованием функции $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 2$ и выполним все необходимые задачи.

1. Область определения функции - это множество значений $x$, для которых функция определена. Так как функция $f(x)$ является многочленом, она определена для всех значений $x$ (все действительные числа), и область определения равна $\mathbb{R}$ (множество всех действительных чисел).

2. Четность и нечетность функции: Четность функции определяется так: если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции, то функция четная. Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$, то функция нечетная. Подставим $-x$ в функцию $f(x)$ и проверим: $f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 - 36(-x) + 2 = -2x^3 - 3x^2 + 36x + 2$

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Порядок функции - это степень многочлена. В данном случае порядок функции равен $3$ (так как максимальная степень $x$ в многочлене равна $3$).

4. Интервалы монотонности и точки экстремума: Для определения интервалов монотонности и точек экстремума найдем производную функции и решим уравнение $f'(x) = 0$:

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$

Находим корни $f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$ $x^2 - x - 6 = 0$

Решаем уравнение:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x = 3$ и $x = -2$.

Теперь построим таблицу знаков производной и определим интервалы монотонности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 3 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & + \\ \hline \end{array}$$

Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty, -2)$ и убывает на интервале $(3, +\infty)$. Точки экстремума у нас всего две: минимум при $x = 3$ и максимум при $x = -2$.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба: Для определения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции $f''(x)$:

$f''(x) = 12x - 6$

Теперь решим уравнение $f''(x) = 0$ для нахождения точек перегиба:

$12x - 6 = 0$ $12x = 6$ $x = \frac{1}{2}$

Построим таблицу знаков $f''(x)$ и определим интервалы выпуклости и вогнутости:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & \frac{1}{2} & +\infty \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$$

Таким образом, функция вогнута на интервале $(-\infty, \frac{1}{2})$ и выпукла на интервале $(\frac{1}{2}, +\infty)$. Точка перегиба у нас одна: $\left(\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$