Question

Постройте график функции, решение есть(ниже), не могу правильно построить. Решение: y(x)=x²/(x-1) 1) Область определения: (- ∞;1) (1;∞) 2) Множество значений: (0;∞) 3) Проверим является ли функция четной или нечетной: y(х) = x²/(x-1) y(-x)=x²/(-x-1) , так как y(х) ≠y(-х) и y(-х) ≠-y(х) , то функция не является ни четной ни не четной. 4)Найдем координаты точек пересечения с осями координат: а) с осью ОХ: у=0, получаем: x²/(x-1) =0, x²=0 x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0;0) 5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции: y'=(2x(x-1)-x²)/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²; y'=0 (x²-2x)/(x-1)²=0, x²-2x=0 x1=0 x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум: Так как на промежутках (- ∞;0) (2;∞) y'>0, то на этих промежутках функция возрастает. Так как на промежутках (0;1) (1;2) у'< 0, то на этих промежутках функция убывает. Точка х=0 является точкой максимума у (0)=0 Точка х=2 является точкой минимума у (2)=4 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: fу"=((2x-2)(x-1)²-2(x-1)(x²-2x))/(x-1)^4=2/(x-1)³; y"=0 2/(x-1)³=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет. Так как на промежутке (1;∞) , y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз. Так как на промежутке (- ∞;1) y"< 0 то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх 7) Проверим имеет ли график функции асимптоты: а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1 lim (прих->1-0) (x²/(x-1))=-∞ lim (прих->1+0) (x²/(x-1))=∞ так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой. б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b k=lim (при х->∞)(y(x)/x)=lim (при х->∞)( x²/(x(x-1))=1 b=lim (при х->∞)(y(x)-kx)=lim (при х->∞)(x²/(x-1)-x)=1 Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.

Answer 1

ФОТО:::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Построение графика функции

Для построения графика функции y(x) = x²/(x-1) + 1, нужно учитывать следующую информацию:

Область определения: (-∞, 1) ∪ (1, ∞)

Множество значений: (0, ∞)

Пересечение с осями координат: - С осью OX: При y = 0, получаем x²/(x-1) = 0, что приводит к x² = 0, следовательно, x = 0. Таким образом, график пересекает ось абсцисс в точке (0, 0).

Экстремумы и промежутки возрастания/убывания функции: - Найдем производную функции y'(x): y'(x) = (2x(x-1) - x²)/(x-1)² = (x² - 2x)/(x-1)² - Найдем точки, где производная равна нулю: y'(x) = 0, x² - 2x = 0, x₁ = 0, x₂ = 2 - Проверим значения производной на интервалах (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞): - На интервалах (-∞, 0) и (2, ∞) y'(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этих интервалах. - На интервалах (0, 1) и (1, 2) y'(x) < 0, следовательно, функция убывает на этих интервалах. - Таким образом, точка x = 0 является точкой максимума y(0) = 0, а точка x = 2 является точкой минимума y(2) = 4.

Промежутки выпуклости и точки перегиба функции: - Найдем вторую производную функции y''(x): y''(x) = ((2x-2)(x-1)² - 2(x-1)(x²-2x))/(x-1)⁴ = 2/(x-1)³ - Найдем значения x, при которых y''(x) = 0. Уравнение 2/(x-1)³ = 0 не имеет корней, следовательно, функция не имеет точек перегиба. - На интервале (1, ∞) y''(x) > 0, что означает, что график функции направлен выпуклостью вниз. - На интервале (-∞, 1) y''(x) < 0, что означает, что график функции направлен выпуклостью вверх.

Асимптоты: - Вертикальная асимптота: Найдем односторонние пределы в точке разрыва x = 1: - lim (при x -> 1-0) (x²/(x-1)) = -∞ - lim (при x -> 1+0) (x²/(x-1)) = ∞ Так как пределы бесконечны, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой. - Наклонная (горизонтальная) асимптота: Найдем пределы y(x)/x, когда x стремится к бесконечности: - lim (при x -> ∞) (x²/(x(x-1))) = 1 - b = lim (при x -> ∞) (y(x) - kx) = lim (при x -> ∞) (x²/(x-1) - x) = 1 Итак, прямая y = x + 1 является наклонной асимптотой.

Построим график функции, учитывая все указанные характеристики.