Question

Відомо, що три вектори n⃗ , m⃗ і p⃗ розкладені за векторами x⃗ , y⃗ і z⃗ таким чином: n⃗ = −1x⃗ + 1y⃗ + 1z⃗ m⃗ = 3x⃗ + −4y⃗ + 1z⃗ p⃗ = −1x⃗ + 2y⃗ + −3z⃗ Доведи, що вектори n⃗ , m⃗ і p⃗ компланарні.

Answer 1

Ответ:вектора коллинеарны, т.к. данные вектора x, y, z ппраллельны.( коллинеарные вектора- это параллельные или лежащие на 1 прямой, при

чём они не обязатель но будут сонаправленными.

Объяснение:

Известны длины векторов, с поиощью данных формул нарисуем искомые вектора.

Answer 2

Для доведення того, що вектори n⃗, m⃗ і p⃗ компланарні, потрібно переконатися, що вони лежать в одній площині або, що їх можна представити як лінійну комбінацію двох лінійно незалежних векторів.

Ми маємо дані розкладення для кожного з векторів n⃗, m⃗ і p⃗ відносно векторів x⃗, y⃗ і z⃗:

n⃗ = -1x⃗ + 1y⃗ + 1z⃗ m⃗ = 3x⃗ - 4y⃗ + 1z⃗ p⃗ = -1x⃗ + 2y⃗ - 3z⃗

Давайте складемо лінійну комбінацію цих векторів і перевіримо, чи можемо отримати нульовий вектор:

А* n⃗ + B* m⃗ + C* p⃗ = (A*(-1x⃗ + 1y⃗ + 1z⃗)) + (B*(3x⃗ - 4y⃗ + 1z⃗)) + (C*(-1x⃗ + 2y⃗ - 3z⃗))

Розгорнемо дужки та спростимо:

А* n⃗ + B* m⃗ + C* p⃗ = (-Ax⃗ + Ay⃗ + Az⃗) + (3Bx⃗ - 4By⃗ + Bz⃗) + (-Cx⃗ + 2Cy⃗ - 3Cz⃗)

Тепер, для того щоб вектори були компланарні, вираз А* n⃗ + B* m⃗ + C* p⃗ повинен бути рівний нульовому вектору:

(-Ax⃗ + Ay⃗ + Az⃗) + (3Bx⃗ - 4By⃗ + Bz⃗) + (-Cx⃗ + 2Cy⃗ - 3Cz⃗) = 0

Тепер, щоб це рівняння було справедливим для будь-яких А, В і С, коефіцієнти при векторах x⃗, y⃗ і z⃗ повинні дорівнювати нулю:

-А + 3В - С = 0 A - 4В + 2С = 0 A + B - 3С = 0

Тепер ми можемо розв'язати цю систему лінійних рівнянь:

Додамо перше і третє рівняння:

-А + 3В - С + A + B - 3С = 0

2B - 4C = 0

Тепер поділимо друге рівняння на 2:

A - 2В + С = 0

Тепер додамо це останнє рівняння до 2B - 4C = 0:

A - 2В + С + 2B - 4C = 0

A - В - 4C = 0

Тепер додамо останні два рівняння:

2B - 4C + A - В - 4C = 0

A - 2B - 8C = 0

Тепер додамо отримане рівняння до першого рівняння:

2B - 4C + A - 2B - 8C = 0

-12C = 0

Отримали, що C = 0. Тепер підставимо значення C у третє рівняння:

A - В - 3 * 0 = 0

A - В = 0

A = В

Тепер підставимо значення A та С у друге рівняння:

A - 2В + С = 0

В - 2В + 0 = 0

-В = 0

В = 0

Тепер підставимо значення В у перше рівняння:

-А + 3В - С = 0

-А + 3 * 0 - 0 = 0

-А = 0

А = 0

Таким чином, всі коефіцієнти А, В, і С дорівнюють нулю, що означає, що вектори n⃗, m⃗ і p⃗ є лінійно залежними і лежать в одній площині (компланарні).