Question

Дано куб АВСDА1В1С1D1. Обчислити величину кута між векторами АВ1 і А1D за допомогою векторного методу. (Під час розв`язання скористайтесь формулою знаходження кута між векторами, прямі АВ1 і А1D позначте відповідними векторами)

Answer 1

Дано куб АВСDА1В1С1D1. Обчислити величину кута між векторами АВ1 та А1D за допомогою векторного методу (позначте прямі АВ1 та А1D відповідними векторами). Підказка: скористайтесь формулою знаходження кута між векторами. "

Пояснення:

1 спосіб векторний

Нехай ребро куба. Введемо прямокутну систему координат, як показано на кресленні. Координати точок

А(а ;0; 0) , В(0;0;а) , , =√((-a)²+0²+a²)=a√2 ;

А(а ;0; a) , D(a;a;0) , , =√(0²+a²+(-a)²)=a√2 .

Скалярний твір можна вирахувати двома способами

-за визначенням ;

-використовуючи координати.

Отримуємо ,

2a²* = - а² ,

⇒ кут між векторами дорівнює 120 °.

Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається величина найменшого з плоских кутів, утворених цими прямими ⇒ кут між прямими АВ₁ і А₁D дорівнює 60° .

2 спосіб по т. косінусів.

Добудуємо куб (власне до 2-го поверху).

Перенесемо вектор як показано на кресленні, для поєднання початків даних векторів. Знайдемо кут між векторами з ΔА₁DB₂ по т. косінусів. Знайдемо довжини відрізків

- А₁В₂=А₁D, як діагоналі квадрата, по т. Піфагора √(а²+а²)=а√2.

- DB₂, як діагональ прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, а,2а; DB₂ =√(а²+а²+4а²)=а√6.

DB₂²= А₁В₂² + А₁D²-2*А₁В₂*А₁D* cos( А₁В₂;А₁D),

6а²=2а²+2а²-2*а√2*а√2* cos( А₁В₂;А₁D),

2*а√2*а√2* cos( А₁В₂;А₁D)=-2а²,

cos( А₁В₂;А₁D)=-1/2 ⇒ кут між відрізками А₁В₂;А₁D дорівнює 120 °. Тоді кут між прямими АВ₁ і А₁D дорівнює 60 ° (180 ° -120 ° = 60 °).

Answer 2

Щоб обчислити величину кута між векторами AB1 і A1D за допомогою векторного методу, ми можемо скористатись формулою знаходження кута між векторами. Зауважте, що прямі AB1 і A1D позначаються відповідними векторами.

Формула для знаходження кута між двома векторами векторного методу виглядає наступним чином:

cos(θ) = (AB1 · A1D) / (|AB1| * |A1D|)

де AB1 і A1D - вектори, · позначає скалярний добуток, а |AB1| і |A1D| - довжини векторів AB1 і A1D відповідно.

Тепер давайте знайдемо значення кута між векторами AB1 і A1D, використовуючи цю формулу.

Знаходження скалярного добутку

Спочатку нам потрібно знайти скалярний добуток AB1 і A1D. Для цього ми множимо координати векторів AB1 і A1D і додаємо їх.

AB1 = (A1B1, A1B1, A1B1) A1D = (A1D1, A1D1, A1D1)

AB1 · A1D = A1B1 * A1D1 + A1B1 * A1D1 + A1B1 * A1D1

Знаходження довжин векторів

Далі нам потрібно знайти довжини векторів AB1 і A1D. Для цього ми використовуємо формулу довжини вектора:

|AB1| = √(A1B1^2 + A1B1^2 + A1B1^2) |A1D| = √(A1D1^2 + A1D1^2 + A1D1^2)

Обчислення кута

Тепер, коли ми знайшли значення скалярного добутку AB1 · A1D та довжин векторів |AB1| і |A1D|, ми можемо використати формулу для знаходження кута:

cos(θ) = (AB1 · A1D) / (|AB1| * |A1D|)

Значення кута можна знайти, використовуючи обернену функцію косинуса (arccos) для отримання кута в радіанах. Якщо вам потрібно виразити кут у градусах, ви можете перетворити його, помноживши на 180/π.

Це метод, який можна використовувати для обчислення кута між будь-якими двома векторами.