Question

1.. В треугольнике со сторонами 1,корень из 3, и 2 найти угол между высотой и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла. 2.Найти угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наименьшего угла в треугольнике со сторонами 16, 21 и 35.

Answer 1

Начало координат в точку А(0;0)
Точка В(16;0)
Ищем точку C(x;y) по известным расстояниям AC = 35 и BC = 21
AC² = x² + y² = 35²
BC = (x - 16)² + y² = 21²
вычтем из первого второе
x² -  (x - 16)² = 35² - 21²
x² - x² + 32x - 256 = 1225 - 441
32x = 784 + 256
32x = 1040
x = 1040/32 = 32,5
y² = 35² - x² = 35² - 32,5² = 1225 - 1056,25 = 168,75
y = √168,75 (можно выразить в целых числах, если сильно хочется)
C(32,5;√168,75)
Н(32,5;0)
--- 2 ---
Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам
АМ/ВМ = АС/ВС
АМ/(16-АМ) = 35/21 = 5/3
3АМ = 80 - 5АМ
8АМ = 80
АМ = 10
М(10;0)
--- 3 ---
tg(MCH) = MH/CH = (32,5 - 10)/√168,75 = 22,5/√168,75 = 45/√675 = 45/√(225*3) = 45/(15√3) = 3/√3 = √3
∠МСН = arctg(√3) = 60°
---------------
c первой попроще
Треугольник прямоуголен, и в нём острый угол 30°
По т. Пифагора
1² + (√3)² = 2²
1 + 3 = 4
Верное равенство!
Медиана отсекает два равнобедренных треугольника. 
в одном углы при основании по 30°
В другом углы при основании по 60° (ну и вершине, и вообще он равносторонний)
Высота к гипотенузе является также медианой, биссектрисой и высотой в равностороннем треугольнике
И на вопрос задания ответ 30°, поскольку биссектриса отсекает от угла в 60° половину.

Answer 2

Для решения этих задач, мы можем воспользоваться теоремой косинусов и свойствами треугольников. Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1. Найдем угол между высотой и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла в треугольнике со сторонами 1, корень из 3 и 2.

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c, где угол A - наибольший угол. Пусть высота, опущенная из вершины A, пересекает сторону BC в точке H, а медиана, проведенная из вершины A, пересекает сторону BC в точке M. Тогда угол между высотой и медианой, проведенными из вершины A, равен углу BAC.

Теперь рассмотрим треугольник с данными сторонами: a = 1, b = √3 и c = 2. Поскольку сторона c = 2 является наибольшей, угол A будет напротив нее. Тогда:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c) cos(A) = (√3^2 + 2^2 - 1^2) / (2 * √3 * 2) cos(A) = (3 + 4 - 1) / (2 * √3 * 2) cos(A) = 6 / (4 * √3) cos(A) = √3 / 2

Теперь найдем угол BAC:

A = arccos(√3 / 2) A ≈ 30°

Ответ: Угол между высотой и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла, составляет приблизительно 30°.

2. Найдем угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наименьшего угла в треугольнике со сторонами 16, 21 и 35.

Аналогично предыдущей задаче, обозначим треугольник ABC, где стороны a, b и c имеют значения 16, 21 и 35 соответственно. Пусть угол C является наименьшим углом. Высота, опущенная из вершины C, пересекает сторону AB в точке H, а биссектриса угла C, проведенная из вершины C, пересекает сторону AB в точке I. Тогда угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины C, равен углу BCI.

Для начала, найдем угол BAC с помощью теоремы косинусов:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c) cos(A) = (21^2 + 35^2 - 16^2) / (2 * 21 * 35) cos(A) = (441 + 1225 - 256) / (2 * 21 * 35) cos(A) = 1410 / 1470 cos(A) = 47 / 49

Теперь найдем угол BAC:

A = arccos(47 / 49) A ≈ 17.77°

Далее, чтобы найти угол BCI, заметим, что в треугольнике BCI угол BCI = (180° - BAC) / 2:

BCI = (180° - 17.77°) / 2 BCI ≈ 81.12°

Ответ: Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наименьшего угла, составляет приблизительно 81.12°.