Question

длины оснований правильной усечённой четырехугольной пирамиды равны 10 см и 2 см. найти высоту усечённой пирамиды, если боковое ребро равно 9 см.

Answer 1

Сечение пирамиды через два противоположных боковых ребра и диагонали оснований - равнобочная трапеция
Длины диагоналей по т. Пифагора
d₁ =√(2² + 2²) = 2√2 см
d₂ =√(10² + 10²) = 10√2 см
проекция бокового ребра на диагональ основания
(10√2-2√2)/2 = 8√2/2 = 4√2 см
Эта проекция 4√2 см, высота трапеции h как катеты и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. По т. Пифагора
h² + (4√2)² = 9²
h² = 81 - 16*2 = 49
h = √49 = 7 см

Answer 2

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного боковым ребром, высотой и половиной разницы длин оснований.

Пусть a и b - длины оснований, h - высота усеченной пирамиды, а c - боковое ребро.

Тогда у нас есть два прямоугольных треугольника:

1. С боковым ребром c и высотой h: c^2 = h^2 + (0.5*(a-b))^2

2. С боковым ребром c и высотой h + h_0 (где h_0 - высота маленькой пирамидки, отсеченной от большей): c^2 = (h + h_0)^2 + (0.5 * a)^2

Теперь нам нужно найти h - высоту усеченной пирамиды. Из этих двух уравнений мы можем выразить h_0 и подставить его обратно во второе уравнение для нахождения h.

1. c^2 = h^2 + (0.5*(a-b))^2
2. c^2 = (h + h_0)^2 + (0.5 * a)^2

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2: (h + h_0)^2 + (0.5 * a)^2 - (h^2 + (0.5*(a-b))^2) = 0

Раскроем скобки: h^2 + 2h * h_0 + h_0^2 + 0.25 * a^2 - h^2 - 0.25 * (a-b)^2 = 0

Упростим: 2h * h_0 + h_0^2 + 0.25 * a^2 - 0.25 * (a-b)^2 = 0

Теперь найдем h_0 (высоту маленькой пирамидки):

2h * h_0 + h_0^2 + 0.25 * a^2 - 0.25 * (a-b)^2 = 0 h_0^2 + 2h * h_0 + (0.25 * a^2 - 0.25 * (a-b)^2) = 0

Теперь это уравнение квадратного вида в отношении h_0, где a = 10 см, b = 2 см и c = 9 см:

h_0^2 + 2h * h_0 + (0.25 * 10^2 - 0.25 * (10-2)^2) = 0 h_0^2 + 2h * h_0 + (0.25 * 100 - 0.25 * 64) = 0 h_0^2 + 2h * h_0 + (25 - 16) = 0 h_0^2 + 2h * h_0 + 9 = 0

Теперь решим это уравнение квадратного вида:

h_0 = (-2h ± √(2h^2 - 419)) / 2 h_0 = (-2h ± √(2h^2 - 36)) / 2 h_0 = (-2h ± √(2h^2 - 36)) / 2

h_0 = (-2h ± √(2(h^2 - 18))) / 2 h_0 = -h ± √(h^2 - 18)

Теперь, чтобы найти высоту h, нам нужно знать, какое из значений h_0 использовать. Мы знаем, что h_0 - это высота маленькой пирамидки, и она не может быть больше высоты исходной усеченной пирамиды h. Поэтому используем отрицательное значение h_0:

h_0 = -h + √(h^2 - 18)

Теперь подставим это значение h_0 в одно из исходных уравнений:

c^2 = (h + h_0)^2 + (0.5 * a)^2 9^2 = (h + (-h + √(h^2 - 18)))^2 + (0.5 * 10)^2 81 = (√(h^2 - 18))^2 + 25 81 = h^2 - 18 + 25 h^2 = 81 + 18 - 25 h^2 = 74 h = √74

Таким образом, высота усеченной пирамиды h равна √74 см (приблизительно 8.6 см).