Question

Півпериметр трикуника більший за першу з його сторін на 6 см, за другу – на 7 см, за третю – на 8 см. Знайдіть площу трикутника.

Answer 1

Пусть а, b и с - стороны данного треугольника, р - полупериметр, тогда:

а = р - 6 (см)

b = p - 7 (см)

с = р - 8 (см)

Полупериметр равен половине суммы трех сторон, отсюда:

(a+b+c)/2 = p

(a+b+c) = 2p

p-6 + p-7 + p-8 = 2p

3p - 21 = 2p

p = 21 (cм) - полупериметр

р - а = 6

p - b = 7

p - с = 8

Площадь по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21\cdot6 \cdot 7 \cdot 8} =\sqrt{7056}= 84$    (см²)

Ответ: 84 см²

Answer 2

Решение на рисунке.

Ответ: 84 см².

Answer 3

Для того, щоб знайти площу трикутника, нам потрібно спочатку знайти довжини його сторін.

Позначимо довжини сторін трикутника через a, b та c. Згідно з умовою задачі, маємо наступні рівняння:

1. $a + b + c = 2p$, де $p$ - півпериметр трикутника.
2. $a = b + 6$.
3. $b = c + 7$.
4. $c = a + 8$.

Зведемо систему рівнянь:

$$\begin{cases} a + b + c = 2p, \\ a = b + 6, \\ b = c + 7, \\ c = a + 8. \end{cases}$$

Підставимо значення $b$ та $c$ у перше рівняння:

$$a + (b + 6) + (b + 6 + 7) = 2p.$$

Спростимо:

$$a + 2b + 13 = 2p.$$

Тепер, підставимо значення $c$ у друге рівняння:

$$b = (a + 8) - 7 = a + 1.$$

І, підставимо значення $b$ у третє рівняння:

$$a = (a + 1) + 6 \Rightarrow a = a + 7.$$

Тепер маємо:

$$\begin{cases} a + 2b + 13 = 2p, \\ a = a + 7. \end{cases}$$

З другого рівняння отримуємо $a = -7$, а з першого:

$$(-7) + 2b + 13 = 2p \Rightarrow 2b + 6 = 2p \Rightarrow b + 3 = p \Rightarrow b = p - 3.$$

Аналогічно, $c = b - 7 = (p - 3) - 7 = p - 10$.

Тепер, використовуючи формулу площі трикутника $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, де $p$ - півпериметр, $a$, $b$ та $c$ - довжини сторін, підставимо отримані значення:

$$S = \sqrt{p(p - (-7))(p - (p - 3))(p - (p - 10))}.$$

Спростимо:

$$S = \sqrt{p(p + 7)(3)(10)} = \sqrt{30p(p + 7)}.$$

Таким чином, площа трикутника дорівнює $\sqrt{30p(p + 7)}$.