Question

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD выбраны точки X и Y так что XY || AB. Биссектрисы углов A и C пересекают отрезок XY в точках P и Q соответственно. Докажите что угол ADP = углу ABQ.

Answer 1

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: АК делит ∠А на равные углы ∠ВАК=∠КАD; а ∠АКD=∠КАВ как накрестлежащие ⇒

∠AKD=∠КАD. Аналогично доказывается, что ∆ NBC - равнобедренный.

По условию ХY║AB.

В равнобедренных треугольниках АDК и NBC стороны ВС=BN; DК=DА, а так как ВС=AD и ∠CBN=∠ADK, треугольники CBN и ADK равны по первому признаку равенства треугольников.

Боковые стороны этих треугольников лежат на параллельных прямых, КD║BN.

. ∠BNC=∠CNB=∠KAB=∠ KAD (доказано), АК и CN по равенству соответственных углов - параллельны.⇒

Четырехугольник АNQP параллелограмм по определению (противоположные стороны параллельны), ⇒

NQ=AP

∆ ВNQ = ∆ DAP по двум сторонам и заключённому между ними углу. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

Угол ADP=углу NBQ=углу ABQ, что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что угол ADP равен углу ABQ, мы можем воспользоваться свойством параллельных линий и биссектрис углов.

Пусть угол BAD равен α, а угол ADC равен β.

Так как AD и BC — стороны параллелограмма, то угол ABC = α (альтернативные углы). Аналогично, угол BCD = β.

Теперь рассмотрим треугольники AXY и CXY:

1. В треугольнике AXY: Угол XAY = α (так как XY || AB и угол XAB = α). Угол AXP = (180° - XAY) / 2 = (180° - α) / 2 (так как P — точка пересечения биссектрисы угла A и отрезка XY).

2. В треугольнике CXY: Угол YCX = β (так как XY || AD и угол YCD = β). Угол CYQ = (180° - YCX) / 2 = (180° - β) / 2 (так как Q — точка пересечения биссектрисы угла C и отрезка XY).

Теперь сравним углы ADP и ABQ:

Угол ADP = α + AXP = α + (180° - α) / 2 = (2α + 180° - α) / 2 = (α + 180°) / 2 = 90° + α / 2.

Угол ABQ = β + CYQ = β + (180° - β) / 2 = (2β + 180° - β) / 2 = (β + 180°) / 2 = 90° + β / 2.

Таким образом, угол ADP равен (90° + α / 2), а угол ABQ равен (90° + β / 2).

Чтобы доказать, что они равны, остается показать, что α / 2 = β / 2.

Так как угол ABC = α, а угол BCD = β, то из треугольника ABC следует, что:

α + β = 180° (сумма углов треугольника).

Разделим обе части на 2:

(α + β) / 2 = 90°.

Таким образом, α / 2 = β / 2 = 90° / 2 = 45°.

Таким образом, угол ADP = углу ABQ, и мы доказали требуемое утверждение.