Question

В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна к стороне BC,AB:BC = 2:1. Найдите угол ABC.

Answer 1

..........................................................................................................

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о медиане треугольника:

Теорема о медиане треугольника: Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, и она также делит противолежащий ей угол на два равных угла.

Обозначим угол ABC как x. Также обозначим точку, в которой медиана BM пересекает сторону AC, как D.

Так как медиана BM делит сторону AC пополам, то AD = DC.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ADM, где AM - медиана и она делит прямой угол MAD пополам.

Также известно, что AB:BC = 2:1. Это означает, что BD:DC = 2:1, так как AD = DC.

Теперь у нас есть два уравнения для нахождения угла x:

1. Из прямоугольного треугольника ADM: tan(x) = AM/AD = AM/(DC)

2. Из прямоугольного треугольника BDC: tan(x) = BD/DC = 2

Теперь мы можем уравнять эти два уравнения:

AM/(DC) = 2

AM = 2 * DC

Но мы знаем, что AD = DC, поэтому:

AM = 2 * AD

Таким образом, медиана AM в 2 раза длиннее отрезка AD.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC и прямоугольный треугольник AMB:

AB:BC = 2:1

Мы также знаем, что медиана AM делит угол ABC пополам, поэтому угол MBA = x/2.

Теперь у нас есть два уравнения, которые связывают углы треугольника ABC:

1. Теорема о медиане: угол MBA = x/2

2. Из отношения сторон треугольника: угол MBA = arctan(2)

Теперь приравняем их:

x/2 = arctan(2)

x = 2 * arctan(2)

Используя калькулятор, найдем приближенное значение угла x:

x ≈ 2 * 63.43° ≈ 126.86°

Таким образом, угол ABC примерно равен 126.86°.