Question

в параллелограмме MKNZ диаголанли пересекаются в точке O. Докажите , что четурехугольник ABCD ,вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ - параллелограм

Answer 1

,.................
BC средняя линия треугольника КОМ, значит ВС парал-на КN
AD средняя линия треугольника МОК, значит АD парал-на MZ
MZ парал-на KN, значит ВС парал-на АD
АВ средняя линия треугольника МОК, значит АВ парал-на МК

Answer 2

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо показать, что противоположные стороны параллельны.

Обозначим точки середин отрезков OM, OK, ON и OZ как A, B, C и D соответственно.

1. Докажем, что AB || CD: Рассмотрим треугольники OMK и OZN: В этих треугольниках у нас есть три пары прямых углов: ∠OMK = ∠ONZ (поскольку MKNZ - параллелограмм и диагонали пересекаются), ∠MOA = ∠NOB (по определению точек A и B как середин отрезков OM и ON), ∠OKB = ∠OZA (по определению точек B и D как середин отрезков OK и OZ).

   Также мы знаем, что углы при вершинах O в треугольниках равны (поскольку сумма углов треугольника равна 180°): ∠OMK + ∠MOA + ∠OKB = 180°, ∠ONZ + ∠NOB + ∠OZA = 180°.

   Сложим оба уравнения: ∠OMK + ∠MOA + ∠OKB + ∠ONZ + ∠NOB + ∠OZA = 360°.

   Заметим, что слева стоит сумма всех углов треугольника MON, и она также равна 360°: ∠MON + ∠MOA + ∠NOB + ∠OZA = 360°.

   Подставим это значение обратно в уравнение: ∠OMK + ∠MON + ∠ONZ = 360°.

   Теперь обратим внимание на треугольник OMZ: Углы ∠OMK и ∠ONZ в этом треугольнике при вершине O равны углам ∠OMK и ∠ONZ в треугольниках OMK и OZN соответственно (они смежные углы). Значит: ∠OMK + ∠ONZ = ∠OMZ.

   Вернемся к предыдущему уравнению: ∠OMK + ∠MON + ∠ONZ = 360°, ∠OMZ + ∠MON = 360°.

   Теперь рассмотрим треугольник MON: Углы ∠OMZ и ∠MON в этом треугольнике при вершине O равны (они также смежные углы): ∠OMZ + ∠MON = ∠OMN.

   Значит, ∠OMN = 360°. Но это означает, что угол ∠OMN равен прямому углу, и следовательно, MN || CD (две пересекающиеся прямые с общим перпендикуляром образуют прямые углы).

   Но мы также знаем, что MN || BC (поскольку MKNZ - параллелограмм, и его диагонали пересекаются в точке O, что приводит к параллельным противоположным сторонам). Из этого следует, что BC || CD, что доказывает, что AB || CD.

2. Аналогично, можно доказать, что AD || BC и AC || BD.

Таким образом, у нас есть все основания для заключения, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.