Question

В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите , что четырёхугольник АBCD , вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ - параллелограмм . Начертите чертёж. Помогите пж!

Answer 1

В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите , что четырёхугольник АBCD

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, нам нужно доказать, что его противоположные стороны параллельны и равны.

Для начала, заметим, что точка $O$ является серединой диагонали $MZ$, так как диагонали параллелограмма делятся пополам. Значит, отрезок $OM$ является медианой треугольника $MNZ$, и его середина лежит на прямой $NZ$ и делит ее пополам. Аналогично, отрезок $OK$ является медианой треугольника $MKN$, и его середина лежит на прямой $MN$ и делит ее пополам. Точно так же, отрезок $ON$ является медианой треугольника $MKZ$, и его середина лежит на прямой $KZ$ и делит ее пополам. Наконец, отрезок $OZ$ является медианой треугольника $MKN$, и его середина лежит на прямой $MN$ и делит ее пополам.

Теперь рассмотрим отрезки $AB$ и $CD$. Согласно определению, $A$ и $B$ являются серединами отрезков $OM$ и $ON$ соответственно. Значит, $AB$ параллелен и равен $\frac{1}{2}MN$. Аналогично, $CD$ параллелен и равен $\frac{1}{2}KZ$. Но так как диагонали параллелограмма $MKNZ$ делятся пополам, то $\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}KZ$, что означает, что $AB$ параллелен и равен $CD$.

Аналогично, рассмотрим отрезки $AD$ и $BC$. Согласно определению, $A$ и $D$ являются серединами отрезков $OM$ и $OZ$ соответственно. Значит, $AD$ параллелен и равен $\frac{1}{2}MZ$. Аналогично, $BC$ параллелен и равен $\frac{1}{2}KN$. Но так как диагонали параллелограмма $MKNZ$ делятся пополам, то $\frac{1}{2}MZ=\frac{1}{2}KN$, что означает, что $AD$ параллелен и равен $BC$.

Таким образом, мы доказали, что все стороны четырехугольника $ABCD$ параллельны и равны друг другу