Question

В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаются точке O Докажите что что четырехугольник ABCD вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ - параллелограм

Answer 1

Рассмотрим параллелограмм MKNZ.

MO = ON, KO = OZ т.к. диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам

MA = AO, OC = CN по условию.

AO = MO : 2, OC = ON : 2 По условию.

MO = ON Из этого следует, что AO = OC

KB = BO, OD = DZ по условию.

BO = KO : 2, OC = OZ : 2 По условию.

KO = OZ Из этого следует, что BO = OD

Рассмотрим четырёхугольник ABCD

Диагональ BD в точке О делит диагональ AC на 2 равных отрезка

Диагональ AC в точке О делит диагональ BD на 2 равных отрезка

Ответ: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом т.к. его диагонали делятся пополам в очке пересечения.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим параллелограмм MKNZ и его диагонали, пересекающиеся в точке O. Затем вспомним свойства серединных перпендикуляров и параллелограммов.

Дано: Параллелограмм MKNZ, в котором диагонали MK и NZ пересекаются в точке O.

Цель: Доказать, что ABCD - параллелограмм, где A, B, C и D - середины отрезков OM, OK, ON и OZ соответственно.

Доказательство:

1. Рассмотрим отрезок MK. Так как M и K являются вершинами параллелограмма, их середина A также будет являться серединой отрезка MK. То есть, OM = MA и OK = KA.

2. Рассмотрим отрезок NZ. Точно так же, так как N и Z являются вершинами параллелограмма, их середина D также будет являться серединой отрезка NZ. То есть, ON = ND и OZ = ZD.

3. Теперь рассмотрим отрезок MZ. Так как OM = MA и OZ = ZD (по пунктам 1 и 2), и третья сторона MZ параллельна этим отрезкам, то по теореме о серединном перпендикуляре можем сказать, что MD - серединный перпендикуляр отрезка MZ.

4. Аналогично, рассмотрим отрезок KN. Так как OK = KA и ON = ND (по пунктам 1 и 2), и третья сторона KN параллельна этим отрезкам, то по теореме о серединном перпендикуляре можем сказать, что KC - серединный перпендикуляр отрезка KN.

5. Так как MD и KC - серединные перпендикуляры к отрезкам MZ и KN соответственно, и они пересекаются в точке O (см. пункт 3), то по свойству параллелограмма MDCK имеем, что MD || KC.

6. Также из пункта 1 следует, что OM || KC, так как оба отрезка равны отрезку MA.

7. Из пунктов 5 и 6 следует, что OM || MD. Теперь по теореме о параллельных линиях имеем, что ABCD - параллелограмм, где A, B, C и D - середины отрезков OM, OK, ON и OZ соответственно.

Таким образом, доказано, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ.