Question

в параллелограмме abcd  с острым углом А диагонали пересекаются в точке О, на отрезках АО и ОС взяты точки P и K соответственно.OP = OD  OK=OB доказать что PBKD прямоугольник( нарисуйте плз ещё рисунок )

Answer 1

Рассмотрим параллелограмм ABCD

BO = OD т.к. диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим Четырёхугольник PBKD

BO = OK По условию. KO=BO=OD=OP Из этого следует, что  

Диагональ PK =  диагонали BD

Ответ: четырёхугольник PBKD является прямоугольником так как диагонали (PK и BD) равны.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник PBKD является прямоугольником, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и теорему о противоположных углах.

Дано:

1. Параллелограмм ABCD с острым углом A.
2. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
3. Точки P и K на отрезках AO и OC соответственно такие, что OP = OD и OK = OB.

Мы хотим доказать, что четырехугольник PBKD является прямоугольником.

Доказательство: Шаг 1: Докажем, что AD || BC (диагонали параллельны). Это следует из свойств параллелограмма: противоположные стороны параллельны. В данном случае, стороны AD и BC - это диагонали, которые пересекаются в точке O.

Шаг 2: Докажем, что треугольники AOD и COB равнобедренные. Так как OP = OD и OK = OB, то треугольники AOP и COB равнобедренные, так как у них равны две стороны и углы при основаниях равны (AO = OP, CO = OK, углы AOP и COB равны 180° - углу A). А если треугольники AOP и COB равнобедренные, то и их базы AD и BC равны. Таким образом, AD = BC.

Шаг 3: Докажем, что треугольники AOB и COD подобны. У нас уже есть равные углы: углы AOB и COD - это углы параллельных прямых, и они соответственные друг другу (взаимно-поперечные). Теперь, так как AD || BC (из Шага 1), треугольники AOB и COD являются подобными по теореме о подобных треугольниках (AA-подобие).

Шаг 4: Докажем, что PBKD - прямоугольник. Теперь обратим внимание на треугольники AOB и COD. Из подобия этих треугольников следует, что угол P и угол K равны, так как они соответственные углы в подобных треугольниках. Также из равнобедренности треугольников AOD и COB следует, что угол O = углу D = углу B.

Теперь мы видим, что у четырехугольника PBKD противоположные углы (P и K) равны, а смежные углы (K и O, P и O) также равны, следовательно, PBKD является прямоугольником.

Для наглядности, вот рисунок с подписанными точками и линиями:

javascriptCopy code
     B_____________C
     /           /
    /           /
   /           /
  /           /
A/___________/D
  \         /
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       O
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  /         \
P/___________\K