Question

Через вершину прямого кута В прямокутного трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр ВК довжиною 7см. Знайдіть відстань від точки К до прямої АС, якщо АС=8 √2, кут ВАС=45

Answer 1

Оскільки кут В прямий, то ВК буде висотою трикутника АВС, що проходить через вершину В і ділить сторону АС на дві рівні частини. Таким чином, ми можемо розділити трикутник АВС на дві менші трикутники: АВК та ВСК.

За теоремою Піфагора для трикутника АВК маємо:

AB^2 + BK^2 = AK^2

Оскільки кут ВАС = 45 градусів, то сторони АС трикутника АВС будуть відноситись як 1:1√2. Таким чином, ми можемо знайти довжину сторони АВ:

AB = AC/√2 = 8√2/√2 = 8

Застосовуючи це значення, ми можемо розв'язати рівняння для знаходження довжини АК:

AK^2 = AB^2 + BK^2

AK^2 = 8^2 + 7^2

AK^2 = 113

AK = √113

Тепер нам потрібно знайти відстань від точки К до прямої АС. Це можна зробити за допомогою геометричних розрахунків або за допомогою використання подібності трикутників.

Звернімо увагу, що трикутник АКВ подібний до трикутника АСВ, оскільки кут ВАК є спільним, а кути ВКА та ВСА є прямими. Таким чином, ми можемо використовувати відношення сторін цих трикутників для знаходження відстані К до прямої АС:

AK/AB = KV/VS

Замінюючи відомі значення, ми маємо:

√113/8 = KV/AB

KV = (AB/8)√113

KV = √113/8 * 8

KV = √113

Отже, відстань від точки К до прямої АС дорівнює √113 см.

Answer 2

Для знаходження відстані від точки К до прямої АС у прямокутному трикутнику АВС, спершу треба визначити координати точки К.

Дано:

1. Довжина ВК (відрізок ВК) = 7 см.
2. Довжина АС = 8√2 см.
3. Кут ВАС = 45 градусів.

Спочатку ми можемо знайти координати точки К. Оскільки К є проекцією точки В на пряму АС, ми можемо використовувати схожі трикутники для цього.

Враховуючи, що ВАС - це прямий кут, та той факт, що кут ВАС = 45 градусів, трикутник ВАС є ізоскелетальним (два однакові боки) прямокутним трикутником.

Позначимо довжину ВА і ВС як "а", а БС як "b". Отже, ми маємо:

а = б, БА = 8√2 см, ВК = 7 см.

Також можемо застосувати тригонометричні відношення для знаходження боків та кутів у цьому трикутнику. Оскільки кут ВАС = 45 градусів, ми знаємо, що:

тг(45°) = ВС / ВА.

Але тг(45°) = 1, оскільки тангенс 45 градусів дорівнює 1. Таким чином, ми маємо:

1 = б / (8√2).

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для б:

б = 8√2.

Тепер, коли ми знаємо значення б, ми можемо знайти координати точки К, які будуть мати вигляд (х, 0), де x - відстань від точки К до точки С. Оскільки точка К лежить на прямій ВС і ВАС - це прямокутний трикутник, ми можемо використовувати співвідношення подібних трикутників:

ВК / ВА = б / ВС.

Підставимо відомі значення:

7 / (8√2) = x / 8√2.

Тепер розв'яжемо це рівняння для x:

x = (7 / (8√2)) * 8√2.

Зараз ми можемо спростити вираз:

x = 7.

Отже, відстань від точки К до прямої АС дорівнює 7 см.