Question

99 БАЛОВ!!! ABCD правильный тетраэдр AB=BC=CD=AD доказать AB перпендикулярна CD

Answer 1

Решение. Введем векторы a= DA, b = DB, c = DC  Тогда АВ = b — а, АС = с —а, ВС = с —b. По условию AD⊥ВС и BD⊥AC, поэтомуa⊥(c — b) и b⊥(c-a). Следовательно, а(с — b) = 0 и b(с —а) — 0. Отсюда получаем ac = ab и bc = ba. Из этих двух равенств следует, что ас = bc, или (b—а)с = 0. Но b — a =AB, c = DC, поэтому АВ DC = 0, и, значит, AB⊥CD, что и требовалось доказать.))

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок AB перпендикулярен отрезку CD в данном тетраэдре ABCD, нужно использовать определение перпендикулярности.

Определение: Два отрезка называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Для начала, обратим внимание на то, что в тетраэдре ABCD все ребра имеют одинаковую длину, то есть AB=BC=CD=AD.

Теперь предположим, что AB и CD не перпендикулярны, а образуют некий угол меньше 90 градусов.

В таком случае, мы можем взять точку на отрезке CD, скажем, точку P, и провести отрезок PD, который был бы перпендикулярен AB (потому что у нас предположение гласит, что AB не перпендикулярна CD).

Таким образом, у нас бы получился параллелограмм ABPD (AB || PD и AB перпендикулярна CD), где все стороны равны (AB=BC=CD=AD), что противоречит условиям задачи, так как параллелограммы не могут иметь равные стороны, если они не являются ромбами или квадратами.

Следовательно, наше предположение было неверным. Отрезки AB и CD должны быть перпендикулярными.

Таким образом, доказано, что AB перпендикулярна CD в тетраэдре ABCD.