Question

Решите пожалуйста. A(3;2);B(0;5);C(-3;2);D(0;-1). Доказать, что ABCD-квадрат. Найти S

Answer 1

Проекции вектора АВ равны:

АВх = хВ - хА =  0 - 3 = -3;   АВу = уВ - уА = 5 - 2 = 3

Длина вектора IАВI = √((- 3)² + 3²)) = √18  

Проекции вектора ВС равны:

ВСх = хС - хВ =  -3 - 0 = -3;   ВСу = уС - уВ = 2 - 5 = -3

Длина вектора IВСI = √((- 3)² + (-3)²) = √18

Проекции вектора СD равны:

СDх = хD - хC =  0 + 3 = 3;   СDу = уD - уC = -1 - 2 = -3

Длина вектора IСDI = √( 3² + (-3)²) = √18

Проекции вектора DA равны:

DAх = хA - хD =  3 - 0 = 3;   DAу = уA - уD = 2 + 1 = 3

Длина вектора IСDI = √( 3² + 3²) = √18

Итак, все стороны четырёхугольника АВСD равны по величине.

Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник является ромбом.

Скалярное произведение векторов АВ и ВС:

АВ · ВС = АВх · ВСх + АВу · ВСу = -3 · (-3) + 3 · (-3) = 0; Векторы АВ и ВС перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов CD  и ВС

СD · ВС = CDх · ВСх + CDу · ВСу = 3 · (-3) + (-3) · (-3) = 0; Векторы CD и ВС перпендикулярны.

Два угла ромба АВСD, прилежащие к одной стороне ВС прямые, следовательно и два других угла ромба прямые.

Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник АВСD - квадрат cо стороной

а = √18

Площадь квадрата АВСD:    S = а² = 18

Answer 2

Чтобы доказать, что ABCD - квадрат, нужно убедиться, что все его стороны равны по длине и углы между смежными сторонами прямые углы (равны 90 градусам).

Сначала проверим длины сторон:

1. AB: Координаты точек A(3;2) и B(0;5). AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] AB = √[(0 - 3)² + (5 - 2)²] AB = √[(-3)² + 3²] AB = √[9 + 9] AB = √18 ≈ 4.24

2. BC: Координаты точек B(0;5) и C(-3;2). BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] BC = √[(-3 - 0)² + (2 - 5)²] BC = √[(-3)² + (-3)²] BC = √[9 + 9] BC = √18 ≈ 4.24

3. CD: Координаты точек C(-3;2) и D(0;-1). CD = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] CD = √[(0 - (-3))² + (-1 - 2)²] CD = √[3² + (-3)²] CD = √[9 + 9] CD = √18 ≈ 4.24

4. AD: Координаты точек A(3;2) и D(0;-1). AD = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] AD = √[(0 - 3)² + (-1 - 2)²] AD = √[(-3)² + (-3)²] AD = √[9 + 9] AD = √18 ≈ 4.24

Теперь проверим, что углы между сторонами прямые углы:

1. Угол между AB и BC: Угол между двумя векторами можно найти, используя скалярное произведение. Если скалярное произведение равно 0, то угол прямой. Вектор AB = (0 - 3, 5 - 2) = (-3, 3) Вектор BC = (-3 - 0, 2 - 5) = (-3, -3) AB * BC = (-3) * (-3) + 3 * (-3) = 9 - 9 = 0, угол прямой.

2. Угол между BC и CD: Вектор BC = (-3, -3) Вектор CD = (0 - (-3), -1 - 2) = (3, -3) BC * CD = (-3) * 3 + (-3) * (-3) = -9 + 9 = 0, угол прямой.

3. Угол между CD и AD: Вектор CD = (3, -3) Вектор AD = (0 - 3, -1 - 2) = (-3, -3) CD * AD = 3 * (-3) + (-3) * (-3) = -9 + 9 = 0, угол прямой.

Таким образом, мы убедились, что все стороны ABCD равны по длине, а углы между смежными сторонами являются прямыми углами, что делает ABCD квадратом.

Теперь найдем площадь квадрата. Площадь квадрата можно найти, зная длину одной из его сторон:

S = AB² = (4.24)² ≈ 17.98 квадратных единиц.