Question

Нужно свериться с ответом: А1, А2, А3, А4 - вершины пирамиды. Найдите угол между ребрами А1А2 и А1А4, проекцию вектора А1А3 на вектор А1А4, если А1 (4; 6; 5) А2 (6; 9; 4) А3 (2;10;10) А4(7;5;9)Угол между А1А2 и А1А4 = 1/2sqrt(91)?

Answer 1

1) $\vec{A_1A_2}=(6-4;9-6;4-5)=(2;3;-1)\\\vec{A_1A_4}=(7-4;5-6;9-5)=(3;-1;4)\\\cos{\hat{(A_1A_2;A_1A_4)}}=\frac{|\vec{A_1A_2}*\vec{A_1A_4}|}{|A_1A_2|*|A_1A_4|}=\frac{|6-3-4|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}*\sqrt{3^2+(-1)^2+4^2}}=\frac{1}{\sqrt{14*26}}=\frac{1}{2\sqrt{91}}$

2) $\vec{A_1A_3}=(2-4;10-6;10-5)=(-2;4;5)\\\vec{A_1A_4}=(7-4;5-6;9-5)=(3;-1;4)$

Проекция вектора  a на направление вектора  b равна скалярному произведению этих векторов, деленному на длину вектора b:

$Pr_{\vec{A_1A_4}}\vec{A_1A_3}=\frac{(\vec{A_1A_3},\vec{A_1A_4})}{|\vec{A_1A_4}|}=\frac{-6-4+20}{\sqrt{3^2+(-1)^2+4^2}}=\frac{10}{\sqrt{26}}$

Answer 2

Для нахождения угла между ребрами А1А2 и А1А4 в пирамиде, можно воспользоваться скалярным произведением векторов.

1. Найдем векторы А1А2 и А1А4: Вектор А1А2 = А2 - А1 = (6 - 4, 9 - 6, 4 - 5) = (2, 3, -1) Вектор А1А4 = А4 - А1 = (7 - 4, 5 - 6, 9 - 5) = (3, -1, 4)

2. Найдем скалярное произведение векторов А1А2 и А1А4: (A1А2) * (A1А4) = 2 * 3 + 3 * (-1) + (-1) * 4 = 6 - 3 - 4 = -1

3. Найдем длины векторов А1А2 и А1А4: |A1А2| = √(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(4 + 9 + 1) = √14 |A1А4| = √(3^2 + (-1)^2 + 4^2) = √(9 + 1 + 16) = √26

4. Найдем угол между векторами А1А2 и А1А4: cos(θ) = (A1А2 * A1А4) / (|A1А2| * |A1А4|) cos(θ) = -1 / (√14 * √26) = -1 / (√(14 * 26)) = -1 / (√364)

Таким образом, угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен: θ = arccos(-1 / (√364)) ≈ 1/2 * √91

Итак, ваш ответ верен: угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен 1/2 * √91.