Question

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на её большем основании. Боковая сторона трапеции равна 15, радиус окружности равен 12,5. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Дана трапеция АВСD, вокруг которой описана окружность.

АВ=СD=15 см

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований.

Известно только одно основание - оно равно диаметру окружности

АD=2 r=25 cм

Так как центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции,

диаметр окружности, ее боковая сторона и диагональ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диаметру.

Высоту трапеции h = ВD найдем по формуле высоты прямоугольного треугольника, проведенного из прямого угла к гипотенузе:

h = 2s/a , где а - гипотенуза. 

Площадь треугольника пока не известна.

Для ее нахождения нужно найти длину второго катета -диагонали трапеции ВD.

ВD=√(АD²-АВ²)=√(25²-15²)=√400=20 см

2s ABD=АВ·ВD=15·20=300 cм²

h =300:25= 12 см

Отрезок от А до основания Н высоты ВН трапеции равен в равнобедренной трапеции полуразности оснований.

АН найдем из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора.

Полуразность оснований 9 см

Разность оснований 18 см

Меньшее основание

ВС= 25 -18=7 см

S трапеции = 12·(25+7):2 =192 см²

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим следующие величины: Пусть AB и CD - это основания трапеции (где AB - большее основание), BC - меньшее основание, AD - боковая сторона. Пусть O - центр окружности, описанной около этой трапеции, и радиус этой окружности равен R.

У нас есть два важных свойства описанной окружности трапеции:

1. Основания трапеции являются диаметром этой окружности.
2. Центр окружности лежит на большем основании (т.е. точка O лежит на отрезке AB).

Теперь, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где AO = BO = R (так как это радиус окружности). Пусть M - это точка пересечения высоты из O на AB. Тогда AM = BM = R.

Теперь у нас есть два подобных треугольника: треугольник AMO и треугольник ADC (по принципу "катет/гипотенуза"):

1. AMO подобен треугольнику ADC.
2. AM = BM = R, радиус окружности равен R.
3. R = 12.5 (дано в условии).

Мы также знаем длину боковой стороны трапеции AD, которая равна 15.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти отношение сторон AM/AD:

AM/AD = R/15 R = 12.5

AM/AD = 12.5/15

Теперь мы можем найти сторону AM:

AM = (AM/AD) * AD AM = (12.5/15) * 15 AM = 12.5

Теперь у нас есть сторона AM, которая равна радиусу окружности R. Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя следующую формулу:

Площадь трапеции = ((AB + CD) * h) / 2,

где h - это высота трапеции, и она равна стороне AM, т.е. h = 12.5.

Теперь заменим значения и вычислим площадь трапеции:

Площадь трапеции = ((AB + CD) * h) / 2 Площадь трапеции = ((AB + BC) * h) / 2 Площадь трапеции = ((AB + (AB - AD)) * h) / 2 Площадь трапеции = ((2AB - AD) * h) / 2 Площадь трапеции = (AB - AD) * h Площадь трапеции = (AB - 15) * 12.5

Теперь нам нужно найти AB (большее основание). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике AOB:

AB^2 = AM^2 + BM^2 AB^2 = 12.5^2 + 12.5^2 AB^2 = 156.25 + 156.25 AB^2 = 312.5

AB = √312.5 AB ≈ 17.68 (округляем до двух знаков после запятой)

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

Площадь трапеции = (AB - AD) * h Площадь трапеции = (17.68 - 15) * 12.5 Площадь трапеции ≈ 2.68 * 12.5 Площадь трапеции ≈ 33.5

Ответ: Площадь трапеции составляет примерно 33.5 квадратных единиц.