Question

Дана правильная треугольная пирамида ABCD, сторона основания и высота которой равна 6√3 и 4 соответственно. Найдите угол между прямой EF и плоскостью основания ABC, если F - середина ребра DB, a E лежит на AD так, что AE:ED=3:1.

Answer 1

Находим проекции боковых рёбер на основание.

Они равны (2/3) высоты основания,то есть (2/3)*(6√3*(√3/2)) = 6.

Проекции точек E и F отделяют на основании отрезки от основания высоты, равные (1/4)*6 = 3/2 и (1/2)*6 = 3.

Получаем проекцию E1F1 отрезка EF на основание как сторону треугольника с двумя известными сторонами (3/2) и 3 и углом между ними 120 градусов.

E1F1 = √((9/4) + 9 - 2*(3/2)*3*cos120°) = √(9 +36 + 18)/2 = √63/2.

Высоты точек E и F от основания равны соответственно (3/4)*4 = 3 и (1/2)*4=2. Разность высот равна 3 - 2 = 1.

Угол между прямой EF и плоскостью основания ABC - это плоский угол между прямыми EF и E1F1.

Отсюда находим тангенс искомого угла.

tg α = 1/(√63/2) = 2/√63 ≈ 0,251976.

Угол α = 0,24684 радиан или 14,14277 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти угол между прямой EF и плоскостью основания ABC. Для начала, давайте разберемся с расположением точек E, F и D относительно основания ABC.

1. Расположение точки D: Поскольку треугольная пирамида ABCD правильная, сторона основания ABC - правильный треугольник. Значит, угол между любыми сторонами основания равен 60 градусов. Поскольку сторона основания равна 6√3, стороны треугольника ABC имеют длину 6√3, 6√3 и 6√3.

2. Расположение точки F: F - середина ребра DB. Так как DB является одной из боковых ребер пирамиды, то длина DB равна высоте пирамиды, которая равна 4. Значит, DF = DB/2 = 2.

3. Расположение точки E: Точка E лежит на AD так, что AE:ED=3:1. Это означает, что отрезок AE составляет 3 части из 4 всего отрезка AD, и ED составляет оставшуюся часть. Так как высота пирамиды AD равна 4, то AE = (3/4) * 4 = 3, и ED = (1/4) * 4 = 1.

Теперь у нас есть координаты точек D(0, 0, 0), F(0, 0, 2) и E(0, 3, 0).

Для того чтобы найти угол между прямой EF и плоскостью основания ABC, мы можем воспользоваться следующей формулой:

cos(θ) = |(EF · n)| / (|EF| * |n|),

где EF - вектор, соединяющий точку E с точкой F, n - нормальный вектор плоскости ABC (вектор, перпендикулярный этой плоскости), · - скалярное произведение векторов, и | | обозначает длину вектора.

1. Найдем вектор EF: EF = F - E = (0, 0, 2) - (0, 3, 0) = (0, -3, 2).

2. Найдем нормальный вектор плоскости ABC: Так как стороны треугольника ABC равны, мы можем найти нормальный вектор плоскости ABC, используя векторное произведение двух сторон.

Пусть AB и AC - стороны треугольника ABC. Тогда нормальный вектор n будет равен: n = AB x AC,

где x - векторное произведение.

AB = (6√3, 0, 0) (вектор из точки A в точку B), AC = (-3√3, 6, 0) (вектор из точки A в точку C).

n = AB x AC = (0, 0, (6√3) * 6 + 0 * (-3√3)) = (0, 0, 36√3).

3. Теперь найдем cos(θ): |EF| = √((0)^2 + (-3)^2 + 2^2) = √13, |n| = √((0)^2 + (0)^2 + (36√3)^2) = 6√3.

EF · n = (0 * 0) + (-3 * 0) + (2 * 36√3) = 72√3.

cos(θ) = |EF · n| / (|EF| * |n|) = 72√3 / (√13 * 6√3) = 72 / (6 * √13) = 12 / √13.

Теперь, чтобы найти угол θ, возьмем обратный косинус от полученного значения:

θ = arccos(12 / √13) ≈ 26.57°.

Таким образом, угол между прямой EF и плоскостью основания ABC составляет примерно 26.57 градусов.