Question

В прямоугольном треугольнике АВС ˂С=90˚,˂ВАС=45˚, АВ=10, Кϵ ВС, ˂КАС=30˚.Найти КС

Answer 1

Ответ:

$KC=\frac{\sqrt{3}}{3} * 5\sqrt{2}$

Ответ странный получился, лучше перепроверьте

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся тригонометрией в прямоугольном треугольнике.

Обозначим стороны треугольника как: AB = 10 (из условия) BC = x (неизвестная сторона, которую мы хотим найти) AC = h (высота треугольника из вершины C)

Из условия ˂ВАС = 45˚ и ˂КАС = 30˚, мы можем заметить, что треугольник АКС является 30-60-90 треугольником.

Таким образом, отношения сторон в таком треугольнике следующие: AK = (1/2) * AC KS = (√3 / 2) * AC

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ВСК. В этом треугольнике у нас также есть два угла: ˂КСВ и ˂КВС. Мы знаем, что ˂КСВ = 45˚ (из условия ˂ВАС = 45˚) и ˂КАС = 30˚ (из условия ˂КАС = 30˚).

Таким образом, ˂КВС = 180˚ - ˂КСВ - ˂КАС = 180˚ - 45˚ - 30˚ = 105˚.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны KS:

Так как мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ВСК: cos(˂КВС) = KS / BC

Подставляем известные значения: cos(105˚) = (√3 / 2) * AC / BC

Теперь нам нужно найти значение cos(105˚). Используем формулу половинного угла для тригонометрической функции косинуса: cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ) cos(105˚) = cos(2 * 45˚ + 15˚) = cos(90˚ + 15˚) = cos(105˚) = cos(180˚ - 75˚) = -cos(75˚)

Мы также знаем, что cos(30˚) = √3 / 2 и cos(60˚) = 1 / 2. Тогда: cos(75˚) = cos(30˚ + 45˚) = cos(30˚)cos(45˚) - sin(30˚)sin(45˚) = (√3 / 2) * (√2 / 2) - (1 / 2) * (√2 / 2) = (√6 - √2) / 4

Теперь подставим это значение обратно в уравнение: (√6 - √2) / 4 = (√3 / 2) * AC / BC

Теперь найдем значение BC: BC = (√3 / 2) * AC * (4 / (√6 - √2))

Мы также знаем, что AK = (1/2) * AC, и из условия АВ = 10: AC = 2 * AK = 2 * AB * sin(˂ВАС) = 2 * 10 * sin(45˚) = 20 * (√2 / 2) = 10√2

Теперь, подставим значение AC в уравнение для BC: BC = (√3 / 2) * 10√2 * (4 / (√6 - √2))

Теперь, упростим значение BC: BC = 10 * (√3 / (√6 - √2))

Таким образом, длина стороны ВС (BC) равна 10 * (√3 / (√6 - √2)). Вычислив этот выражение численно, получим приближенное значение стороны BC.

Ответ: BC ≈ 15.89.