Question

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Точка P - середина бокового ребра CC₁. Найдите расстояние между прямыми BP и AB₁ , если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2√3

Answer 1

Плоскости BPD и АВ1D1, в которых лежат прямые BP и АВ1, параллельны по признаку параллельности двух плоскостей (АЕ || BD, PT || AB1). Проведём перпендикулярную плоскость CFF1, которая пересекает эти плоскости по прямым ТР и МК.

Расстояние между паралельными прямыми РТ и МК равно искомому расстоянию между прямыми ВР и АВ1.

Рассмотрим прямоугольник СС1F1F:  CF = 2•AB = 2•6 = 12

CT = KF = CF/4 = 12/4 = 3 , TK = 6

В прям.ΔMTK: по т.Пифагора:

МК² = МТ² + ТК² = (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48

МК = 4√3

Площадь ΔТМК: S = MT•TK/2 = MK•TH/2

MT•TK = MK•TH ⇒ TH = MT•TK/MK = 2√3•6/4√3 = 3

Следует отметить, что тангенс угла наклона данных плоскостей равен √3/3, то есть угол наклона равен 30°

ОТВЕТ: 3

Answer 2

Чтобы найти расстояние между прямыми BP и AB₁, воспользуемся геометрическими свойствами правильной шестиугольной призмы.

1. Найдем высоту призмы (h): Так как призма правильная, то её высота будет равна расстоянию между вершиной A и вершиной A₁ (или между любыми другими противолежащими вершинами). В данном случае это равно: h = AA₁ = 2√3 (боковое ребро)

2. Найдем длину отрезка BP: Точка P - середина бокового ребра CC₁, а значит BP делит боковое ребро CC₁ пополам. Длина бокового ребра CC₁ равна 2√3, поэтому: BP = CC₁ / 2 = (2√3) / 2 = √3.

3. Теперь мы можем рассмотреть треугольник BB₁P и применить теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка B₁P: BB₁² = BP² + B₁P².

Известно, что BB₁ (длина отрезка AB₁) равна длине стороны основания призмы, то есть 6. Подставляем значения: 6² = (√3)² + B₁P², 36 = 3 + B₁P², B₁P² = 36 - 3 = 33.

Теперь находим B₁P: B₁P = √33.

Итак, расстояние между прямыми BP и AB₁ (то есть длина отрезка B₁P) равно √33.