Question

∆ABC и ∆АMC равнобедренные с основанием АС=36м , а углы при их основаниях 30° и 60°соответственно.Найдите угол между плоскостями треугольников , если ВМ=6√21м.

Answer 1

1. Рассмотрим треуг. АОВ: уголА=30 градусов; т.к. ВО - высота, то треуг. АОВ - прямоугольный, АО=ОС=18 см.

Пусть ВО=х см.

$tg30 = \frac{x}{18} \\ x = tg30 \times 18 = \frac{ \sqrt{3} }{3} \times 18 = 6 \sqrt{3}$

2. Рассм. треуг. АМО: уголА=60 градусов; т.к. треуг. АМС равнобедренный, то МО - высота и треуг. АМО - прямоугольный.

Пусть МО=у см.

$tg60 = \frac{y}{18} \\ y = tg60 \times 18 = 18 \sqrt{3}$

3. Рассмотрим треуг. МОВ:

Пусть МВ=а, МО=b, ВО=с, угол МОВ= альфа, тогда по т. косинусов:

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} - 2bc \cos( \alpha ) \\ 36 \times 21 = 324 \times 3 + 36 \times 3 - 2 \times 18 \sqrt{3} \times 6 \sqrt{3} \times \cos( \alpha ) \\ 756 = 972 + 108 - 648 \times \cos( \alpha ) \\ - 648 \cos( \alpha ) = - 324 \\ \cos( \alpha ) = \frac{ - 324}{ - 648} \\ \cos( \alpha ) = 0.5$

Значит, угол МОВ=60 градусов.

Ответ: 60 градусов.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти угол между плоскостями треугольников ∆ABC и ∆AMC.

Сначала рассмотрим треугольник ∆ABC. Мы знаем, что он равнобедренный, с основанием АС = 36 м и углом при основании в 30°. Таким образом, углы ∠BAC и ∠BCA также равны 30° каждый.

Теперь рассмотрим треугольник ∆AMC. Он также равнобедренный, с основанием АС = 36 м и углом при основании в 60°. Следовательно, углы ∠MAC и ∠MCA также равны 60° каждый.

Мы знаем, что сторона ВМ = 6√21 м.

Теперь обратим внимание на прямоугольный треугольник ∆BMC. У него углы ∠BMC и ∠BAC являются смежными углами, и их сумма равна 30° + 60° = 90°.

Теперь мы можем найти угол ∠BMC:

∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠BCA) = 180° - (90° + 30°) = 180° - 120° = 60°.

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями треугольников, нам нужно найти угол между нормалями к этим плоскостям. Нормаль к плоскости ∆ABC — это векторное произведение векторов AB и AC, а нормаль к плоскости ∆AMC — это векторное произведение векторов AM и AC. Угол между этими нормалями будет равен углу между плоскостями.

Таким образом, у нас есть векторы: AB = BM = 6√21 м (так как ∆ABC — равнобедренный), AC = 36 м, AM = BM - AB = 6√21 - 6√21 = 0.

Теперь найдем нормали к плоскостям:

Нормаль к плоскости ∆ABC: N₁ = AB x AC = (6√21) x 36, Нормаль к плоскости ∆AMC: N₂ = AM x AC = 0 x 36 = 0.

Теперь найдем угол между векторами N₁ и N₂, используя скалярное произведение векторов:

cos θ = (N₁ · N₂) / (|N₁| * |N₂|).

Так как N₂ = 0, то угол θ между плоскостями также будет равен нулю, так как cos(0°) = 1.

Итак, угол между плоскостями треугольников ∆ABC и ∆AMC равен 0°.