Question

В прямоугольном треугольнике ABC ( угол С равен 90°) АВ=20см угол АВС=30° С центром в точке А проведено окружность Каким должен быть радиус чтобы: 1) окружность касалась прямой BC 2) окружность не имела общих точек с прямой BC 3) окружность имеют две общие точки прямой BC

Answer 1

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра. AC⊥BC, AC - расстояние от точки A до прямой BC.

Катет AC лежит против угла 30 и равен половине гипотенузы AB. AC=AB/2=10.

1) если окружность касается прямой, то радиус равен расстоянию от центра окружности до прямой, R=10.

2) если окружность не имеет общих точек с прямой, то радиус меньше расстояния от центра окружности до прямой, R<10.

3) если окружность имеет две общих точки с прямой, то радиус больше расстояния от центра окружности до прямой, R>10.

Answer 2

Чтобы решить задачу, давайте разберем каждый пункт по отдельности.

1. Окружность касается прямой BC:

Поскольку точка касания окружности с прямой BC будет перпендикулярна касательной, проведенной в этой точке, нам нужно найти такую окружность, радиус которой будет перпендикулярен BC в точке касания. Это означает, что радиус окружности будет проходить через середину отрезка BC.

1.1) Найдем высоту треугольника ABC из точки A на сторону BC: Высота треугольника равна половине основания, умноженной на синус угла между высотой и основанием. В нашем случае угол А между высотой и основанием BC равен 30°.

Высота = (BC / 2) * sin(30°) Высота = (20 / 2) * 0.5 = 5 см

1.2) Радиус окружности равен длине высоты треугольника: Радиус окружности = 5 см

Таким образом, радиус окружности должен быть равен 5 см, чтобы окружность касалась прямой BC.

2. Окружность не имеет общих точек с прямой BC:

В этом случае, радиус окружности должен быть меньше расстояния от точки центра окружности до прямой BC.

2.1) Найдем расстояние от точки А до прямой BC: Расстояние от точки до прямой можно найти, используя формулу:

Расстояние = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

где Ax + By + C = 0 - уравнение прямой BC (в общем виде), A и B - коэффициенты при x и y уравнения прямой.

Уравнение прямой BC: x - 20 = 0 (поскольку прямая проходит через точку B(20, 0) и C(20, 20), следовательно, её уравнение x - 20 = 0)

Расстояние от точки А(0, 0) до прямой BC:

Расстояние = |0 + 0 - 20| / sqrt(1^2 + 0^2) = 20 / 1 = 20 см

2.2) Радиус окружности должен быть меньше 20 см:

Радиус окружности < 20 см

3. Окружность имеет две общие точки с прямой BC:

В этом случае, радиус окружности будет больше расстояния от точки центра окружности до прямой BC, но меньше расстояния от точки A до точки касания окружности с прямой BC.

3.1) Найдем расстояние от точки касания окружности с прямой BC до точки A: Это расстояние равно радиусу окружности, который мы обозначим как R.

3.2) Радиус окружности должен быть больше 20 см и меньше R:

20 см < Радиус окружности < R

Итак, в зависимости от задачи, радиус окружности может быть выбран из следующих интервалов:

1. Окружность касается прямой BC: Радиус окружности = 5 см
2. Окружность не имеет общих точек с прямой BC: Радиус окружности < 20 см
3. Окружность имеет две общие точки с прямой BC: 20 см < Радиус окружности < R (где R - расстояние от точки центра окружности до точки касания окружности с прямой BC).