Question

Конус делится на плоскость, перпендикулярную высоте конуса, и делит высоту на отрезки длиной 1:3 от вершины. Площадь сечения 8π. Рассчитайте площадь основания конуса!

Answer 1

Ответ:

площадь основания конуса 128π

Объяснение:

плоскость, перпендикулярная высоте конуса, параллельна основанию конуса.

секущая плоскость " отсекает" от конуса, конус подобный данному.

основание конуса и секущая плоскость, круги, лежащие в параллельных плоскостях, т.е подобны.

площади подобных фигур относятся

S1:S2=k^2

k - коэффициент подобия.

"высота делится на отрезки 1:3", т.е на 4 отрезка

k=1/4

S1:S2=(1/4)^2

$\frac{8\pi}{ s_{2}} = {( \frac{1}{4})}^{2}$

S2=128π

Answer 2

Пусть высота конуса равна h, и площадь основания конуса равна S.

Площадь сечения конуса можно выразить через отношение площадей подобных фигур, получаем:

(площадь сечения) / (площадь основания) = (высота сечения)² / h²

Заменяя известные значения, получаем:

8π / S = (1/4)² / h²

Упрощаем:

8π / S = 1/16h²

Домножаем обе части уравнения на S и делим на 8π:

S = (16h²) / 8π S = 2h² / π

Теперь рассчитаем длину отрезка высоты, разделяющего сечение на отношение 1:3:

h₁ : h₂ = 1 : 3

h₁ + h₂ = h

Подставляем значение h₁ вместо h₁ + h₂:

h₁ + 3h₁ = h

4h₁ = h

h₁ = h / 4

Площадь сечения считается как площадь круга с радиусом r (площадь круга = πr²), где r - радиус сечения. Так как сечение делится пополам, получаем:

πr² = 8π

r² = 8

r = √8 = 2√2

Теперь рассчитаем площадь основания конуса S:

S = 2h² / π S = 2(h₁ + h₂)² / π S = 2(h₁ + (3h₁))² / π S = 2(4h₁)² / π S = 2(4(h/4))² / π S = 2h² / π S = 2(2√2)² / π S = 2(8) / π S = 16 / π

Таким образом, площадь основания конуса составляет 16 / π (приблизительно 5.09) единиц площади.