Question

В остроугольном треугольнике ABC опустили высоты AE и BF. Докажите, что треугольники ACB и ECF подобны

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Заметим, что BEFA -- вписанный четырёхугольник, так как углы, опирающиеся на сторону АВ равны. Отсюда имеем равенство углов AEF, ABF и EAF, EBF. Значит, $\angle EFC = 180^\circ-\angle AFE = \angle EAF + \angle AEF = \angle EBF + \angle ABF = \angle EAB$

Аналогично угол FEC равен углу BAC. Значит, в треугольниках ACB и ECF все углы равны и они подобны

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ACB и ECF, нам нужно показать, что они имеют одинаковые углы. Поскольку высоты AE и BF опущены из вершин остроугольного треугольника ABC, давайте рассмотрим следующие углы:

1. Угол A в треугольнике ABC и угол C в треугольнике ACB: Поскольку треугольник ABC - остроугольный, его третий угол B также острый. Тогда углы A и C являются острыми углами.

2. Угол A в треугольнике ECF и угол C в треугольнике ECF: Так как ECF - прямоугольный треугольник (поскольку E и F - основания перпендикуляров к AB), то угол C прямой (90 градусов). Угол A также будет острым углом, так как острый угол против прямого угла в прямоугольном треугольнике.

Таким образом, оба треугольника ACB и ECF имеют два острых угла, которые равны друг другу (угол A в ACB и угол A в ECF; угол C в ACB и угол C в ECF).

Также известно, что угол B в треугольнике ABC и угол F в треугольнике ECF - это вертикальные углы, и вертикальные углы равны. Поэтому угол B в ACB и угол F в ECF также равны.

Таким образом, оба треугольника имеют два равных угла, что делает их подобными по признаку "Угол-Угол" (УУ).