Question

Доведіть що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Сумма углов параллелограмма прилежащих к одной стороне равна 180°.

Теорема косинусов:

$c^2=a^2+b^2-2ab*cos\alpha$

Формула приведения:

$cos(180^o-\alpha )=-cos\alpha$

Используя теорему косинусов, выразим квадраты диагоналей:

$d_1^2=a^2+b^2-2ab*cos(180^o-\alpha )\\d_2^2=a^2+b^2-2ab*cos\alpha$

Преобразуем первое выражение, используя формулу приведения и сложим два полученных равенства:

$d_1^2=a^2+b^2+2ab*cos\alpha \\d_2^2=a^2+b^2-2ab*cos\alpha\\\\------------\\d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2+2ab*cos\alpha -2ab*cos\alpha \\d_1^2+d_2^2=a^2+a^2+b^2+b^2$

Answer 2

Для доведення цієї твердження скористаємось властивостями паралелограма.

Нехай ABCD - паралелограм. Для зручності, позначимо вектори сторін паралелограма як вектори AB = a, BC = b, CD = c і DA = d.

Діагоналі паралелограма - це вектори AC і BD. За визначенням, сума квадратів довжин діагоналей буде:

|AC|^2 + |BD|^2

Але вектор AC можна представити як суму векторів AB і BC:

AC = AB + BC = a + b

Так само, вектор BD можна представити як суму векторів BA і AD:

BD = BA + AD = -a + d

Давайте розглянемо квадрати довжин цих векторів:

|AC|^2 = |a + b|^2 = (a + b) · (a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = |a|^2 + 2(a·b) + |b|^2

|BD|^2 = |-a + d|^2 = (-a + d) · (-a + d) = (-a)·(-a) + (-a)·d + d·(-a) + d·d = |a|^2 - 2(a·d) + |d|^2

Тепер обчислимо суму квадратів довжин діагоналей:

|AC|^2 + |BD|^2 = |a|^2 + 2(a·b) + |b|^2 + |a|^2 - 2(a·d) + |d|^2 = 2|a|^2 + 2(a·b) - 2(a·d) + 2|b|^2 + 2|d|^2

Тепер розглянемо квадрати довжин усіх сторін паралелограма:

|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2

Очевидно, що сума квадратів довжин діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін:

|AC|^2 + |BD|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2

Таким чином, ми довели, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.