Question

В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС. Задачу нужно решить без использования теоремы синусов!

Answer 1

Объяснение:

Пусть ВК высота к АС. Тогда АК, Кс-проекции на АС. Пусть АК=х, тогда КС=в-х

ΔАВК , tgа=ВК/АК  ,                 ΔСВК,   tgβ=ВК/(в-х)

ВК=х * tgа                ,                 ВК=(в-х) tgβ.

Значит        х tgа  =(в-х) tgβ,

                   х tgа  =вtgβ-хtgβ,

                   х tgа +хtgβ=вtgβ

                    х (tgа +tgβ)=вtgβ

                    х= вtgβ/(tgа +tgβ), значит АК=вtgβ/(tgа +tgβ).

КС=в-вtgβ/(tgа +tgβ).

Answer 2

Для решения этой задачи без использования теоремы синусов, мы можем использовать геометрические соображения.

Обозначим проекции сторон АВ и ВС на сторону АС как h_1 и h_2 соответственно.

Рассмотрим треугольник АВС. Проведем высоту из вершины С на сторону АВ. Обозначим точку пересечения этой высоты с АВ как М. Таким образом, получим два прямоугольных треугольника: АСМ и СМВ.

В треугольнике АСМ у нас есть два угла: α и 90° (поскольку АСМ - прямоугольный треугольник), следовательно, третий угол будет 180° - (α + 90°) = 90° - α.

Теперь рассмотрим треугольник СМВ. В нем также есть два угла: 90° и β, следовательно, третий угол будет 180° - (90° + β) = 90° - β.

Теперь обратим внимание на треугольник СМВ. У него есть два прямых угла: 90° - α и 90° - β. Значит, это так называемый "угол между проекциями". Обозначим его γ.

Теперь мы можем заметить, что углы в прямоугольных треугольниках равны, и, следовательно, углы α и β соответственно равны углам α и β в треугольнике СМВ. Таким образом, у нас есть два подобных треугольника: АСМ и СМВ.

Используем соотношение между сторонами подобных треугольников: отношение сторон АСМ и СМВ равно отношению проекций h_1 и h_2 соответственно:

h_1 / h_2 = AC / CM

Так как AC = b и CM = AB * sin(α), подставим значения и получим:

h_1 / h_2 = b / (AB * sin(α))

Теперь обратим внимание на прямоугольный треугольник АСМ. В нем есть угол 90° - α и катет АМ (проекция стороны АВ на АС). Мы знаем, что:

sin(90° - α) = AM / AC

sin(90° - α) = cos(α)

Теперь можно выразить AM:

AM = AC * cos(α) = b * cos(α)

Теперь, зная значение AM, мы можем выразить h_1:

h_1 = AM * sin(α) = b * cos(α) * sin(α)

Аналогично для прямоугольного треугольника СМВ:

sin(90° - β) = BM / BC

sin(90° - β) = cos(β)

BM = BC * cos(β) = b * cos(β)

h_2 = BM * sin(β) = b * cos(β) * sin(β)

Таким образом, мы получили выражения для проекций сторон АВ и ВС на сторону АС:

h_1 = b * cos(α) * sin(α)

h_2 = b * cos(β) * sin(β)

Эти формулы позволяют выразить проекции сторон без использования теоремы синусов, только с использованием тригонометрии для прямоугольных треугольников.