Question

Помогите, пожалуйста решить задачки1. Найдите неизвестную сторону треугольника АВС, если :а) АВ=11 см, АС=8 см, угол А=60 градусам;б) АВ=13 см, ВС=7 см, угол В=60 градусам2. НАйдите неизвестную сторону треугольника MNP, если:а) MN=7 см, MP=15 см, угол M=120 градусам;б) MN=5 см, MP=14 см, угол N=120 градусам.3. В параллелограмме острый угол равен 60 градусам, а стороны равны 6 см и 8 см. Найдите:а) меньшую диагональ (ВD);б) большую диагональ (АС)4. Найдите косинусы углов параллелограмма, если:а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.5. Найдите стороны параллелограмма, если с его большей диагональю, равной 25 см, они образуют углы 20 и 60 градусов.6. В треугольнике АВС дано: АВ=16 см, угол В=40 градусов, угол А=30 градусам. Найдите угол С, стороны АС и ВС, радиус описанной окружности.7. Докажите, что в биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и АС. (Указание. Примените теорему синусов к треугольникам АВD и АDС)8. Докажите, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон (Указание. Найдите квадраты диагоналей, используя теорему косинусов)9. В параллелограмме острый угол между диагоналями 60 градусов одна из сторон 6 см, меньшая диагональ 8 см. Найти:а) большую диагональ;б) вторую сторону параллелограмма10. Укажите вид треугольника, не вычисляя его углов, если:а) 7, 8, 12;б) 3, 4, 5;в) 8, 10, 1211. Угол при основании равнобедренного треугольника равен равен 30 градусам, а боковая сторона равна 14 см. Найти:а) медиану, проведенную к высотеб) биссектрису угла при основании12. Стороны треугольника равны 24 см, 18 см и 8 см. Найти:а) больший угол треугольникаб) меньший угол треугольника13. В треугольнике АВС известны стороны: Ас=6 см, ВС=9 см, АВ=10 см. Найти высоту, проведённую к стороне АВ. (Указание. Воспользуйтесь следствием из теоремы косинусов)

Answer 1

1

теорема косинусов

а)

ВС^2=AB^2+AC^2 - 2*AB*AC*cosA=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97

BC=√97 см

б)

AC^2=AB^2+BC^2 - 2*AB*BC*cosB=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127

АС=√127 см

2

теорема косинусов

а)

cos120= - cos60

NP^2=MN^2+MP^2 -2 MN*MP*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=

=49+225-2*7*15*(-1/2)=379

NP=√379 см

б)

NP^2=

3

cos120= - cos60

а) меньшую диагональ (ВD)

лежит напротив  острого угла <60

BD^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52

BD=√52=2√13 см

б) большую диагональ (АС)

лежит напротив тупого угла <120

AC^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148

AC=√148=2√37 см

4

а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos<A

196=64+100 - 160*cos<A

32= - 160*cos<A

cos<A= - 32/160 =-1/5= -0.2

б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos<B

400=144+196-336* cos<B

60 =-336* cos<B

cos<B = - 60/336 = - 5/28

5

диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник

значит третий угол треугольника  <A=180-20-60=100 град

дальше по теореме синусов

a/sin20=b/sin60=d/sinA=25/sin100

a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см

b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см

6

угол <С=180-<A-<B=180-30-40=110

по теореме синусов

AC/sin<B=BC/sin<A=AB/sin<C=2R

AC/sin40=BC/sin30=16/sin110

AC=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см

BC= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см

радиус описанной окружности

AB/sin<C=2R

R= AB/(2*sin<C)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см

7

Answer 2

Задача 1

а) Для нахождения неизвестной стороны треугольника АВС, когда известны стороны АВ и АС, а также угол А, можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения неизвестной стороны СВ выглядит следующим образом:

СВ = √(АВ² + АС² - 2 * АВ * АС * cos(А))

Подставляя известные значения, получаем:

СВ = √(11² + 8² - 2 * 11 * 8 * cos(60°))

Вычисляя это выражение, получаем:

СВ ≈ 9.17 см.

б) Для нахождения неизвестной стороны треугольника АВС, когда известны стороны АВ и ВС, а также угол В, также можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения неизвестной стороны АС выглядит следующим образом:

АС = √(АВ² + ВС² - 2 * АВ * ВС * cos(В))

Подставляя известные значения, получаем:

АС = √(13² + 7² - 2 * 13 * 7 * cos(60°))

Вычисляя это выражение, получаем:

АС ≈ 9.17 см.

Задача 2

а) Для нахождения неизвестной стороны треугольника MNP, когда известны стороны MN и MP, а также угол M, можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения неизвестной стороны NP выглядит следующим образом:

NP = √(MN² + MP² - 2 * MN * MP * cos(M))

Подставляя известные значения, получаем:

NP = √(7² + 15² - 2 * 7 * 15 * cos(120°))

Вычисляя это выражение, получаем:

NP ≈ 14.14 см.

б) Для нахождения неизвестной стороны треугольника MNP, когда известны стороны MN и MP, а также угол N, также можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения неизвестной стороны NP выглядит следующим образом:

NP = √(MN² + MP² - 2 * MN * MP * cos(N))

Подставляя известные значения, получаем:

NP = √(5² + 14² - 2 * 5 * 14 * cos(120°))

Вычисляя это выражение, получаем:

NP ≈ 12.91 см.

Задача 3

а) В параллелограмме, где острый угол равен 60 градусам, а стороны равны 6 см и 8 см, можно найти меньшую диагональ BD. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения меньшей диагонали BD выглядит следующим образом:

BD = √(AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(60°))

Подставляя известные значения, получаем:

BD = √(6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos(60°))

Вычисляя это выражение, получаем:

BD ≈ 4.9 см.

б) В параллелограмме, где острый угол равен 60 градусам, а стороны равны 6 см и 8 см, можно найти большую диагональ AC. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения большей диагонали AC выглядит следующим образом:

AC = √(AB² + BC² + 2 * AB * BC * cos(60°))

Подставляя известные значения, получаем:

AC = √(6² + 8² + 2 * 6 * 8 * cos(60°))

Вычисляя это выражение, получаем:

AC ≈ 11.8 см.

Задача 4

а) В параллелограмме, где стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм, можно найти косинусы углов параллелограмма. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения косинуса угла A выглядит следующим образом:

cos(A) = (AB² + AD² - BD²) / (2 * AB * AD)

Подставляя известные значения, получаем:

cos(A) = (8² + 10² - 14²) / (2 * 8 * 10)

Вычисляя это выражение, получаем:

cos(A) ≈ -0.35

Аналогично, можно найти косинус угла B.

б) В параллелограмме, где стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм, можно найти косинусы углов параллелограмма. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов. Формула для нахождения косинуса угла A выглядит следующим образом:

cos(A) = (AB² + AD² - BD²) / (2 * AB * AD)

Подставляя известные значения, получаем:

cos(A) = (12² + 14² - 20²) / (2 * 12 * 14)

Вычисляя это выражение, получаем:

cos(A) ≈ 0.07

Аналогично, можно найти косинус угла B.

Задача 5

В параллелограмме, где большая диагональ равна 25 см, а углы образуют 20 и 60 градусов, можно найти стороны параллелограмма. Для этого можно воспользоваться теоремой синусов. Формула для нахождения сторон параллелограмма выглядит следующим образом:

AB / sin(60°) = AC / sin(20°) = BD / sin(100°)

Подставляя известные значения, получаем:

AB / sin(60°) = 25 / sin(20°)

Вычисляя это выражение, получаем:

AB ≈ 14.43 см

Аналогично, можно найти стороны AC и BD.

Задача 6

В треугольнике АВС, где АВ = 16 см, угол В = 40 градусов, угол А = 30 градусов, можно найти угол С, стороны АС и ВС, а также радиус описанной окружности.

Угол С можно найти, используя свойство суммы углов