Question

В треугольнике KMO, на стороне KO лежит точка E. При том, что угол KEM острый. Докажите что MO больше ME.

Answer 1

Объяснение: Если КЕМ  острый, то МЕО - тупой и значит в треугольнике МЕО  два других угла острые, т.е. меньше МЕО.

Но в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, значит МЕ меньше МО.Что и требовалось.

Answer 2

Для доказательства того, что MO больше ME в треугольнике KMO, где угол KEM острый, мы можем использовать теорему косинусов.

Пусть стороны треугольника KMO обозначаются как KM, MO и KO, а угол KEM обозначим как α.

Теорема косинусов гласит:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(α),

где a, b, c - стороны треугольника, а α - угол между сторонами b и c.

Мы знаем, что угол KEM острый, значит cos(α) будет положительным числом меньше 1.

Рассмотрим треугольник KME: ME^2 = KM^2 + KM^2 - 2KMKMcos(α), ME^2 = 2KM^2 - 2KM^2cos(α).

Теперь рассмотрим треугольник KMO: MO^2 = KM^2 + KO^2 - 2KMKOcos(α), MO^2 = 2KM^2 + KO^2 - 2KMKO*cos(α).

Так как KM и KO - это одинаковые стороны треугольника KMO и KME, то их квадраты одинаковы (KM^2 = KO^2).

Подставим это обратно в формулу для MO^2: MO^2 = 2KM^2 + KM^2 - 2KMKMcos(α), MO^2 = 3KM^2 - 2KM^2*cos(α).

Таким образом, у нас есть выражения для ME^2 и MO^2:

ME^2 = 2KM^2 - 2KM^2cos(α), MO^2 = 3KM^2 - 2KM^2cos(α).

Теперь сравним эти два выражения:

MO^2 - ME^2 = (3KM^2 - 2KM^2cos(α)) - (2KM^2 - 2KM^2cos(α)), MO^2 - ME^2 = 3KM^2 - 2KM^2cos(α) - 2KM^2 + 2KM^2cos(α).

Заметим, что -2KM^2cos(α) и +2KM^2cos(α) сократятся, оставив только:

MO^2 - ME^2 = 3KM^2 - 2KM^2.

Теперь, если мы заметим, что KM^2 больше нуля, то это выражение всегда будет положительным. Таким образом, MO^2 всегда будет больше ME^2.

Из этого следует, что MO > ME, что и требовалось доказать.