Question

Сторона прямокутника 10 см і утворює з діагоналлю кут 60 градусів . Знайдіть площу прямокутника.

Answer 1

Нехай дано прямокутник ABCD, BD — діагональ, DC = 10 см, ∠BDC = 60°.

Р-мо BDC:

∠BCD = 90° — як кут прямокутника, отже ΔBDC — прямий, ∠BDC = 60° — за умовою, тоді ∠DBC за теоремою про суму кутів трикутника буде дорівнювати:

    ∠DBC = 180°−90°−60° = 30°.

По властивості катета, який лежить напроти кута 30°, гіпотенуза трикутника буде рівна:

    BD = 2*DC = 2*10 = 20  (cm)

Знайдемо інший катет за т. Піфагора:

    $BD^2=DC^2+BC^2 \:\Rightarrow\: BC = \sqrt{BD^2-DC^2} \\BC = \sqrt{20^2-10^2} = \sqrt{400-100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \:\: (cm)$

Підставимо значення у формулу площі прямокутника:

    $S = DC\cdot BC\\S = 10\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3} \approx 173,2\:\: (cm^2)$

Відповідь: Площа прямокутника рівна 100√3 см² або приблизно 173,2 см².

Answer 2

Ми маємо прямокутник із стороною 10 см, яка утворює з діагоналлю кут 60 градусів. Це означає, що діагональ поділена пополам на дві рівні частини, і ми можемо використовувати трикутник, утворений половиною діагоналі, половиною сторони прямокутника та самою діагоналлю, для знаходження розмірів цього трикутника.

За теоремою синусів маємо: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$

де $a$, $b$ і $c$ - довжини сторін трикутника, а $A$, $B$ і $C$ - відповідні кути.

У нашому випадку, ми маємо трикутник, в якому:

$a = \frac{10}{2} = 5$ (половина сторони прямокутника), $B = 60^\circ$ (кут між половиною сторони і діагоналлю), $C = 90^\circ$ (кут між стороною і діагоналлю).

Ми хочемо знайти довжину $b$, яка є половиною діагоналі прямокутника.

За теоремою синусів: $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.$

Підставляючи відомі значення: $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 90^\circ}.$

Оскільки $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ і $\sin 90^\circ = 1$, отримаємо: $b = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}}.$

Тепер ми можемо знайти площу прямокутника, використовуючи довжини його сторін $a$ і $b$: $S = a \cdot b = 5 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}.$

Щоб спростити результат, помножимо чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$: $S = \frac{50}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{3}.$

Таким чином, площа прямокутника дорівнює $\frac{50\sqrt{3}}{3}$ квадратних сантиметрів.