Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB= 6, BC=CD= 10, AD= 16, AC= 14. а) Докажи, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. б) Вычисли BD⋅AC. а) Некоторые этапы доказательства (сделай рисунок в тетради, сохранив обозначения точек). ∠ABC+∠ADC= ...° + ...° = ...° б) 1) 156 2) 380 3) 256 4) 220

Answer 1

Рассмотрим треугольник ADB, в котором AD=80, AB=60, DB=100 (см. рисунок ниже). Можно заметить, что

то есть, треугольник ADB – прямоугольный (по теореме, обратной тереме Пифагора) с гипотенузой DB и углом A=90º.

Рассмотрим треугольник DCB, в котором DC=96, BC=28, DB=100, имеем:

,

то есть, треугольник DCB – прямоугольный с гипотенузой DB и углом C=90º.

Получаем, что , значит, . Равенство суммы противоположных углов означает, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Answer 2

Для доказательства того, что вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD можно описать окружность, нужно убедиться, что его все четыре вершины лежат на одной окружности. Для этого воспользуемся тем фактом, что если сумма противоположных углов в четырёхугольнике равна 180 градусам, то этот четырёхугольник можно описать окружностью.

а) Докажем, что ∠ABC + ∠ADC = 180°.

1. Возьмём треугольник ABC. Мы знаем длины его сторон: AB = 6, BC = 10, AC = 14. Можем использовать закон косинусов для нахождения угла ∠ABC:

   cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) cos(∠ABC) = (6^2 + 10^2 - 14^2) / (2 * 6 * 10) cos(∠ABC) = (36 + 100 - 196) / 120 cos(∠ABC) = -60 / 120 cos(∠ABC) = -0.5

   Теперь найдём значение угла ∠ABC через арккосинус:

   ∠ABC = arccos(-0.5) ∠ABC ≈ 120°

2. Теперь рассмотрим треугольник ADC. В нём известны длины сторон AD = 16, CD = 10 и AC = 14. Снова воспользуемся законом косинусов:

   cos(∠ADC) = (AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2 * AD * CD) cos(∠ADC) = (16^2 + 10^2 - 14^2) / (2 * 16 * 10) cos(∠ADC) = (256 + 100 - 196) / 320 cos(∠ADC) = 160 / 320 cos(∠ADC) = 0.5

   Значение угла ∠ADC через арккосинус:

   ∠ADC = arccos(0.5) ∠ADC ≈ 60°

3. Теперь найдём значение ∠ABC + ∠ADC:

   ∠ABC + ∠ADC ≈ 120° + 60° = 180°

Таким образом, ∠ABC + ∠ADC = 180°, что означает, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

б) Теперь найдём произведение BD * AC. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BDC:

BD / sin(∠BDC) = BC / sin(∠DBC)

1. Из предыдущих вычислений мы знаем, что ∠ABC ≈ 120° и ∠ADC ≈ 60°.

2. Теперь найдём ∠BDC, зная, что сумма углов в треугольнике BDC равна 180°:

   ∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠CDB ∠BDC = 180° - ∠ABC - ∠ADC ∠BDC = 180° - 120° - 60° ∠BDC = 180° - 180° ∠BDC = 0°

3. Так как ∠BDC = 0°, то sin(∠BDC) = 0. Следовательно, выражение BD / sin(∠BDC) не имеет смысла.

Таким образом, произведение BD * AC не может быть вычислено на основе предоставленной информации. Верные ответы в задании не представлены.