Question

1)Объем треугольной пирамиды SABC равен 54. Плоскость проходит через среднюю линию МР основания АВС этой пирамиды ( МР II АС) и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей это ребро в отношении 1: 8, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DМРB2)Найти объем треугольной пирамиды SDBC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объем шестиугольной пирамиды равен72 .3)Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 12, боковые ребра равны 10. Найдите объем этой пирамиды.буду очень благодарен

Answer 1

Відповідь:

Пусть данная пирамида будет МАВС, а сечение её плоскостью - АВТ. 

МТ:ТС=7:8 

Плоскость разбила исходную пирамиду на две с общим основанием АВТ и вершинами С - в нижней и М- в верхней. 

Проведем в плоскости сечения прямую ТН, а из вершин образовавшихся пирамид их высоты СК и МЕ перпендикулярно к этой прямой, лежащей в плоскости сечения, а значит и перпендикулярно  плоскости их общего основания. 

Треугольники МЕТ и СТК прямоугольные с равными острыми углами МТЕ=СТК - они вертикальные.

Следовательно, эти треугольники подобны, и отношение их высот равно отношению их сторон, т.е. 

МЕ:СК=МТ:СТ=7:8 

Объем пирамиды равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. 

Основание у обеих пирамид общее, следовательно, их объемы относятся как 7:8 

Содержание одной части этого отношения равно 30:(7+8)=2 

Объем пирамид с равным основанием больше у той, чья высота больше.

 V САВТ=2*8=16 (ед. объема) 

Пояснення:

Пусть данная пирамида будет МАВС, а сечение её плоскостью - АВТ. 

МТ:ТС=7:8 

Плоскость разбила исходную пирамиду на две с общим основанием АВТ и вершинами С - в нижней и М- в верхней. 

Проведем в плоскости сечения прямую ТН, а из вершин образовавшихся пирамид их высоты СК и МЕ перпендикулярно к этой прямой, лежащей в плоскости сечения, а значит и перпендикулярно  плоскости их общего основания. 

Треугольники МЕТ и СТК прямоугольные с равными острыми углами МТЕ=СТК - они вертикальные.

Следовательно, эти треугольники подобны, и отношение их высот равно отношению их сторон, т.е. 

МЕ:СК=МТ:СТ=7:8 

Объем пирамиды равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. 

Основание у обеих пирамид общее, следовательно, их объемы относятся как 7:8 

Содержание одной части этого отношения равно 30:(7+8)=2 

Объем пирамид с равным основанием больше у той, чья высота больше.

 V САВТ=2*8=16 (ед. объема) 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди:

1. Объем пирамиды DМРB: Обозначим точку пересечения средней линии МР с противоположным боковым ребром как E. Так как точка D делит это ребро в отношении 1:8 от вершины S, то DE / DS = 1 / 8. Также, учитывая, что MR || AC, получим DE / MR = DS / AC = 8 / 9 (так как MR делит AC в отношении 1:1).

Теперь, площадь треугольной пирамиды SABC можно выразить через объем и высоту h: SABC = (1/3) * S_base * h, где S_base - площадь основания ABC, h - высота пирамиды от вершины S.

Обозначим S_base как S_ABC. Известно, что S_ABC = 54. Подставим выражение для S_ABC в формулу для объема пирамиды: V_ABC = (1/3) * S_ABC * h.

Также, у нас есть, что DE / MR = 8 / 9, а DE / DS = 1 / 8. Так как DE и DS являются высотами соответственно треугольных пирамид DME и DMS, и объемы пирамид пропорциональны основаниям и высотам, то:

V_DME / V_DMS = (DE / MR) ^ 2 = (8 / 9) ^ 2.

Так как V_DME + V_DMS = V_ABC (пирамиды имеют общее основание DME и DMS), мы можем выразить V_DME и V_DMS через V_ABC:

V_DME = V_ABC * (V_DME / (V_DME + V_DMS)), V_DMS = V_ABC * (V_DMS / (V_DME + V_DMS)).

Теперь, для пирамиды DME, высота от вершины D до основания EM равна h_ME = h * (DE / DS) = h * (1 / 8). Аналогично, высота пирамиды DMS от вершины D до основания MS равна h_MS = h * (1 - DE / DS) = h * (7 / 8).

Теперь мы можем выразить объемы пирамид DME и DMS:

V_DME = (1/3) * S_ME * h_ME, V_DMS = (1/3) * S_MS * h_MS.

Где S_ME и S_MS - площади оснований EM и MS соответственно.

Таким образом, мы можем выразить V_DME и V_DMS через S_ABC и h:

V_DME = (1/3) * S_ABC * (1/8) * h, V_DMS = (1/3) * S_ABC * (7/8) * h.

Теперь, подставляем выражения для V_DME и V_DMS в выражения для V_DME и V_DMS через V_ABC:

V_DME = V_ABC * (1/8) / (1 + 1/8), V_DMS = V_ABC * (7/8) / (1 + 7/8).

Итак, получаем объем пирамиды DME:

V_DME = V_ABC * 8/9, V_DMS = V_ABC * 7/9.

Теперь, объем пирамиды DMRB можно выразить через V_ABC:

V_DMRB = V_DME + V_DMS + V_ABC = V_ABC * (8/9 + 7/9 + 1) = V_ABC * (24/9) = 8/3 * V_ABC.

Подставляем значение V_ABC = (1/3) * 54 * h в выражение для V_DMRB:

V_DMRB = 8/3 * ((1/3) * 54 * h) = 48 * h.

2. Объем пирамиды SDBC: Поскольку пирамида SDBC является частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, объем которой равен 72, а SDBC является какой-то долей этого объема, нам нужно знать, какая доля объема шестиугольной пирамиды приходится на SDBC.

Давайте обозначим эту долю как k, тогда объем пирамиды SDBC будет равен:

V_SDBC = k * V_SABC,

где V_SABC - объем шестиугольной пирамиды, равный 72.

Чтобы найти k, нам нужно знать, какие доли высот и площадей оснований составляют SDBC относительно SABC. Без дополнительной информации о конкретной геометрии SABCDEF и SDBC, мы не можем точно найти k и, следовательно, объем пирамиды SDBC.

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды: Обозначим стороны основания как a, боковые ребра как b, высоту пирамиды как h. В правильной четырехугольной пирамиде стороны основания и боковые ребра равны.

Объем пирамиды можно выразить через площадь основания S_base и высоту h:

V = (1/3) * S_base * h.

В данном случае, площадь основания S_base равна площади квадрата, то есть a^2.

Таким образом, объем пирамиды:

V = (1/3) * a^2 * h.

С учетом данной формулы и заданных значений