Question

Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости abc AB=BC=AC = 8 BD=4 корень из 5 Найдите двугранные углы между плоскостью основания ABC и плоскостями боковых граней ADC ABD CBD

Answer 1

Ответ:В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

Дано: ABCD - тетраэдр;

Определим линейную меру двугранного угла DACB.

ADC ⊥ пл. АВС, тогда двугранный угол DACB и соответствующий ему линейный угол DCB равны 90о.

Определим линейную меру двугранного угла DABC.

Проведем отрезок СМ ⊥ АВ, соединим точки М и D.

то по теореме о 3-х перпендикулярах,

По определению, ∠DMC - линейный угол двугранного угла DABC.

По теореме Пифагора:

Тогда

Отсюда

Определим линейную меру двугранного угла BDCA.

то ∠АВС - линейный угол двугранного угла

Ответ:

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти двугранные углы между плоскостью основания ABC и плоскостями боковых граней ADC, ABD и CBD, нам нужно рассмотреть соответствующие треугольники и применить геометрические свойства.

Известно, что AB = BC = AC = 8, а BD = 4√5.

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AB = BC = AC, это равносторонний треугольник. Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD (или плоскостью CBD) будет равен углу ABC, так как эти плоскости лежат в плоскости ABC.

Таким образом, нам нужно найти угол ABC.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(ABC).

Подставляя известные значения, получаем:

8^2 = 8^2 + 8^2 - 2 * 8 * 8 * cos(ABC).

64 = 64 + 64 - 128 * cos(ABC).

После упрощения уравнения получаем:

0 = -128 * cos(ABC).

cos(ABC) = 0.

Таким образом, угол ABC равен 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD будет равен углу ABD.

В треугольнике ABD у нас есть стороны AB = 8, BD = 4√5 и угол ABD, который мы и хотим найти.

Воспользуемся теоремой косинусов:

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 * AD * BD * cos(ABD).

Подставляя известные значения, получаем:

8^2 = AD^2 + (4√5)^2 - 2 * AD * 4√5 * cos(ABD).

64 = AD^2 + 80 - 8√5 * AD * cos(ABD).

Переносим все известные значения на одну сторону уравнения:

AD^2 - 8√5 * AD * cos(ABD) + 16 = 0.

Это квадратное уравнение относительно AD. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

AD = [8√5 * cos(ABD) ± √(8√5 * cos(ABD))^2 - 4 * 1 * 16] / 2.

AD = 4√5 * cos(ABD) ± √(320cos^2(ABD) - 64).

У нас есть два значения AD: одно положительное и одно отрицательное. Так как сторона AD физически присутствует в тетраэдре, мы должны выбрать положительное значение:

AD = 4√5 * cos(ABD) + √(320cos^2(ABD) - 64).

Теперь, используя найденное значение AD, мы можем найти cos(ABD) с помощью теоремы косинусов:

cos(ABD) = (AD^2 + BD^2 - AB^2) / (2 * AD * BD).

Подставляя известные значения, получаем:

cos(ABD) = ([4√5 * cos(ABD) + √(320cos^2(ABD) - 64)]^2 + (4√5)^2 - 8^2) / (2 * [4√5 * cos(ABD)] * 4√5).

После упрощения уравнения получаем:

cos(ABD) = (80cos^2(ABD) + 320cos(ABD) + 256 - 64 + 80) / (8√5 * cos(ABD)).

cos(ABD) = (80cos^2(ABD) + 320cos(ABD) + 272) / (8√5 * cos(ABD)).

Упростим это уравнение:

√5 * cos(ABD) = 10cos^2(ABD) + 40cos(ABD) + 34.

10cos^2(ABD) + 40cos(ABD) + 34 - √5 * cos(ABD) = 0.

Это квадратное уравнение относительно cos(ABD). Мы можем решить его и найти значение cos(ABD).

Аналогичным образом, мы можем найти угол между плоскостью ABC и плоскостью CBD, используя треугольник CBD и теорему косинусов.

Обратите внимание, что точное численное значение углов ABD, ABC и CBD будет зависеть от конкретных значений cos(ABD) и решения квадратного уравнения.