Question

Сторона правильного четырехугольника, вписанного в некоторую окружность, равна 2. Найдите сторону правильного четырехугольника, описанного около этой же окружности.

Answer 1

Ответ: 2√2

Объяснение: Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.

  Четырехугольник с равными сторонами и углами между ними - квадрат.  Углы квадрата прямые (90°),  его диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.

    d- диагональ квадрата, а₁ - его сторона.

Т.к. вершины вписанного квадрата лежат на окружности, его диагонали  являются диаметрами описанной окружности.

d=√(а²+а²)=2√2.

По условию а₁=2=> d=√(2²+2²)=2√2.

  Если в квадрат вписана окружность, то она касается всех его сторон, а диаметр, соединяющий противоположные точки касания равен стороне такого квадрата. (см. рисунок)  =>

  Сторона описанного квадрата равна диаметру вписанной в него окружности.  а₂=d=2√2 (ед. длины).

Answer 2

Пусть сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность, равна 2. Этот четырехугольник является ромбом, так как все его стороны равны.

Рассмотрим описанный около этой же окружности четырехугольник. Это четырехугольник, у которого вершины лежат на окружности, и его диагонали являются радиусами этой окружности.

Поскольку ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны, а его диагонали пересекаются под прямым углом, то его диагонали делят его на 4 равных треугольника.

Давайте рассмотрим один из таких треугольников. Он является равнобедренным прямоугольным треугольником, где один катет равен половине стороны ромба (т.е., 1) и гипотенуза равна радиусу описанной окружности.

С помощью теоремы Пифагора можем найти длину радиуса описанной окружности (гипотенузы):

$\text{Гипотенуза}^2 = \text{Катет}^2 + \text{Катет}^2$, $r^2 = 1^2 + 1^2$, $r^2 = 2$, $r = \sqrt{2}$.

Таким образом, радиус описанной окружности равен $\sqrt{2}$.

Диаметр описанной окружности равен удвоенному радиусу: $d = 2 \cdot \sqrt{2}$.

Следовательно, сторона правильного четырехугольника, описанного около данной окружности, равна диаметру описанной окружности: $d = 2 \cdot \sqrt{2}$.