Question

В правильной треугольной пирамиде SАВС точка R – середина ребра ВС, S – вершина.Известно, что АВ = 7, SR = 16. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды.

Answer 1

Дано:

правильная треугольная пирамида SABC.

R - середина ребра ВС.

S - вершина.

АВ = 7

SR = 16

Найти:

S поверхности - ?

V - ?

Решение:

Правильный многоугольник - многоугольник, у которого все углы и стороны равны.

Правильная пирамида - пирамида, у которой основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

=> в основании этой правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний △АВС.

Рассмотрим △АВС:

АВ = ВС = АС = 7, так как △АВС - равносторонний.

P△АВС = АВ + ВС + АС = 7 + 7 + 7 = 21

Так как △АВС - равносторонний => он ещё и равнобедренный.

BR = RC = 3,5, так как AR - медиана. (Также R - середина ВС, по условию)

Найдём высоту AR в △АВС, по теореме Пифагора:

с² = а² + b²

a = √c² - b²

a = √(7² - 3,5²) = √(49 - (7/2)²) = √(49 - 49/4) = √147/4 = √(147)/2 = 7√(3)/2

Итак, AR = 7√(3)/2

S осн = S △ (в основании)

S осн = S △АВС = 1/2ВС * AR = 1/2 * 7 * 7√(3)/2 = 49√(3)/4 ед.кв.

SR - высота боковой грани, так как SR - апофема.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

S бок = 1/2Р * SR = 21/2 * 16 = 168 ед.кв.

S поверхности = S осн + S бок = 49√(3)/4 + 168 = 189,21762 ≈ 189 ед.кв.

Точка, на которую опущена высота SO, является серединой правильного треугольника (точка пересечения медиана).Эти медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

AR/3 - АО основания AR. (2/3)

=> AR/3 - OR основания AR (1/3)

=> OR = 1/3 * 7√(3)/2 = 7√(3)/6

Рассмотрим △SRO:

△ASO - прямоугольный, так как SO - высота.

Найдём высоту SO, по теореме Пифагора:

с² = а² + b²

a = √(c² - b²)

a = √(16² - (7√(3)/6)²) = √(256 - 49/12) = √(9069)/6

Итак SO = √(9069)/6

V = 1/3S осн * SO

V = 1/3 * 49√(3)/4 * √(9069)/6= 49√(3023)/24 ед.кб.

Ответ: ≈ 189 ед.кв.; = 49√(3023)/24 ед.кб.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства треугольных пирамид и подобных треугольников.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площадей всех её боковых граней и основания. В данном случае у нас есть треугольная пирамида SАВС с вершиной S, и ребро SR является высотой, опущенной из вершины S на основание АВ.

1. Найдем длину отрезка АС, который является основанием пирамиды. Так как точка R - середина ребра ВС, то VR = RC = 7 / 2 = 3.5. Теперь используем теорему Пифагора в треугольнике SAV: SA^2 = SR^2 + VR^2. SA^2 = 16^2 + 3.5^2 = 256 + 12.25 = 268.25. SA = √268.25 ≈ 16.38.

2. Найдем высоту пирамиды h, которая совпадает с отрезком SR. h = 16.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды можно найти по формуле: S_side = (полупериметр треугольника SAV) * h, где h - высота пирамиды, а полупериметр треугольника равен (SA + AV + SV) / 2.

S_side = ((16.38 + 7 + 16) / 2) * 16 ≈ 329.28.

Теперь найдем площадь основания треугольной пирамиды. Основание - треугольник ABC, где AB = 7, AC = 16.38.

Площадь треугольника ABC можно найти используя полупериметр и формулу Герона: S_base = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)), где s - полупериметр треугольника, BC - сторона треугольника, которая равна SR.

s = (7 + 16.38 + 16) / 2 = 19.69, S_base = √(19.69 * (19.69 - 7) * (19.69 - 16.38) * (19.69 - 16)) ≈ 48.65.

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды: S_total = S_side + S_base ≈ 329.28 + 48.65 ≈ 377.93.

Объем пирамиды можно найти, используя формулу: V = (S_base * h) / 3 = (48.65 * 16) / 3 ≈ 257.73.

Итак, площадь поверхности пирамиды составляет примерно 377.93, а её объем около 257.73.