Question

Гипербола, у которой асимптоты являются координатными осями и прямая с уравнением 3x-4y-12=0 является касательной, имеет уравнение: Ответ: xy+3=0 Как решить?

Answer 1

Ответ:

Преобразуем уравнение прямой в явный вид

$3x-4y-12=0 => -4y=12-3x => y=\frac{3}{4}x-3$

Так как асимптотами гиперболы являются координатные оси, ее уравнение можно представить в виде

$y=\frac{a}{x}$ где а - некоторый параметр, его мы и будем искать.

Пусть $x_0$ - точка касания, тогда справедливо следующее

- значение неизвестной функции в точке касания и прямой совпадают

$\frac{a}{x_0}=\frac{3}{4}x_0-3$

- значение производной в точке касания совпадает с угловым коэффициентом прямой

$-\frac{a}{x_0^2}=\frac{3}{4}$

Эти два уравнения образуют систему, разрешим ее относительно параметра а

$a=-\frac{3}{4}x_0^2$

$-\frac{3}{4}x_0^2\frac{1}{x_0}=\frac{3}{4} x_0-3$

$-\frac{3}{4}x_0=\frac{3}{4}x_0-3$

$-\frac{3}{2}x_0=-3 => x_0=2$

Тогда параметр а

$a=-\frac{3}{4}*2^2=-3$

Значит, уравнение гиперболы имеет вид

$y=-\frac{3}{x}$

Или, в неявной форме

$xy=-3 => xy+3=0$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим поставленную задачу более подробно. У нас есть гипербола с асимптотами, являющимися координатными осями (ось x и ось y), и дана прямая с уравнением 3x - 4y - 12 = 0, которая является касательной к этой гиперболе. Мы хотим найти уравнение этой гиперболы.

Первым шагом будет найти точку касания прямой и гиперболы, так как это даст нам координаты точки касания. Затем, используя это, мы сможем найти уравнение гиперболы.

Уравнение прямой: 3x - 4y - 12 = 0 Разрешим его относительно y: y = (3x - 12) / 4

Гипербола с асимптотами, параллельными координатным осям, имеет общий вид: xy = c, где c - постоянный коэффициент.

Так как прямая касается гиперболы, то в точке касания у них будут одинаковые наклоны. Наклон прямой можно найти как производную y по x: dy/dx = 3/4

Для гиперболы с уравнением xy = c, производная в общем виде будет равна -c/x^2.

Сравнивая производные: -3c/x^2 = 3/4

Отсюда получаем: c = -4

Теперь мы знаем, что уравнение гиперболы имеет вид xy = -4.

Итак, ответ на задачу: уравнение гиперболы, у которой асимптоты - координатные оси, а заданная прямая является касательной, равно xy + 4 = 0.