Question

В прямоугольной трапеции основания равны 10 см и 15 см.Расстояние от некоторой точки до плоскости трапеции 8 см.Расстояние от некоторой точки до каждой стороны трапеции одинаковы.Найдите эти расстояния

Answer 1

Ответ:

расстояние до сторон трапеции 10 см

Объяснение:

Дана трапеция прямоугольная АВСD

где верхнее основание ВС=10см

Нижнее АD=15см

<BAD=<CAD=90°

 Есть некая точка S в пространстве которая находится над плоскостью трапеции на высоте 8см  и расположена равноудаленно от сторон трапеции.

Найти  расстояние  от точки S до сторон трапеции. 

Рассматриваемом трапеции расстояние  до сторон от точки S будет равна образующей конуса вписанного в пирамиду основанием которой является трапеция. 

В трапецию можно вписать окружность если соблюдается условие: сумма сторон основании равна сумме боковых сторон. То есть

AD+BC=AB+CD

10+15=AB+CD=25см

Проводим с вершины С к нижнему основание  AD высоту CH.

CH=AB

Разность основании трапеции 

AD-BC=15-10=5см

Длина отрезков AH=BC=10см 

DH=AD-BC=5см

Образуется прямоугольный треугольник ΔCHD . Где CH и DH катеты  CD гипотенуза 

По теореме Пифагора 

СD²=CH²+DH²

Обозначим высоту  CH=х тогда

CD=√(х²+5²)=√(х²+25)

Вставим в формулу условия суммы сторон основании и боковых сторон при котором можно вписать окружность в трапеци

AB+CD=25

здесь АВ=СН=х

25=х+√(х²+25)

25-х=√(х²+25) возведем в квадрат 

(25-х)²=х²+25

625-50х+х²=х²+25

625-50х+х²-х²-25=0

600-50х=0

600=50х

Х=600/50=12

Высота трапеции СН=12см

Боковая сторона АВ=СН=12см

CD=√(CH²+DH²)=√(12²+5²)=√(144+25)=√169=13см

Или AD+BC=AB+CD

10+15=12+13

Высота  CH равна диаметру вписанной окружности d=2r=12см 

Отсюда радиус вписанной окружности 

r=d/2=CH/2=12/2=6см

Так как точка S находится перпендикулярно к плоскости трапеции над  центром вписанной окружности.

Обозначим точки касания вписанной окружности для каждой стороны трапеции

 АB точка E

ВС точка F

CD точка G

АD точка J.

Центр окружности обозначим буквой  О.

Расстояние от точек E,F, G,J до центра О равно радиусу вписанной окружности:

OE=OF=OG=OJ=r=6см

 Расстояние плоскости трапеции до точки S до центра вписанной окружности SO=h=8см. 

Расстояние от точки S до сторон трапеции находим по теореме Пифагора. 

SE=SF=SG=SJ=L 

L=√(r²+h²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10см

Answer 2

Пусть данная прямоугольная трапеция имеет следующие характеристики:

AB = 10 см (меньшее основание) CD = 15 см (большее основание) EF = GH = x см (расстояние от точки до боковой стороны) PQ = y см (расстояние от точки до верхней основы) MN = 8 см (расстояние от точки до плоскости трапеции)

Так как расстояние от данной точки до каждой стороны трапеции одинаково, мы можем рассмотреть прямоугольные треугольники AME и PEF:

1. В прямоугольном треугольнике AME:
   • Гипотенуза = AM = CD = 15 см
   • Одна катет = AE = AB - EB = 10 - x см
   • Второй катет = ME = MN = 8 см

Применяя теорему Пифагора: (10 - x)^2 + 8^2 = 15^2

2. В прямоугольном треугольнике PEF:
   • Гипотенуза = PF = AB = 10 см
   • Одна катет = PE = PQ - EQ = y - x см
   • Второй катет = EF = x см

Применяя теорему Пифагора: (y - x)^2 + x^2 = 10^2

Итак, у нас есть система из двух уравнений:

1. (10 - x)^2 + 8^2 = 15^2
2. (y - x)^2 + x^2 = 10^2

Решив эту систему уравнений относительно x и y, мы сможем найти расстояния EF и PQ. Однако, точное аналитическое решение может быть довольно сложным, поэтому для получения численных значений можно воспользоваться численными методами или программами для решения уравнений.