Question

Даю 50 баллов. В треугольнике ABC проведена биссектриса Al. На стороне AC взята точка P, так что La - биссектриса угла BLP. Докажите, что если BL равно CP, то угол ABC в 2 раза больше ушла BCA.

Answer 1

Дано:

ΔABC

AL - биссектриса

P ∈ AC

LA - биссектриса ∠BLP

BL = CP

Доказать:

∠ABC = 2∠BCA (в ΔABC ∠B = 2∠C)

Доказательство: (см. чертеж!)

1. рассмотрим ΔABL, ΔALP: ∠1 = ∠2 (по условию), ∠3 = ∠4 (по условию), AL - общая ⇒ ΔABL = ΔALP (по стороне и двум прилежащим к ней углам) ⇒ BL = LP, ∠B = ∠P

2. BL = CP (по условию), BL = LP (доказано в п. 1) ⇒ CP = LP ⇒ ΔLPC - равнобедренный ⇒ в этом треугольнике ∠L = ∠C

∠APL - внешний для ΔLPC ⇒ ∠APL = ∠L + ∠C = 2∠C;

но ∠APL = ∠B (доказано в п. 1) ⇒ ∠B = 2∠C, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более детально и воспользуемся данной информацией, чтобы доказать, что угол ABC вдвое больше угла BCA.

Дано:

1. Треугольник ABC.
2. Биссектриса угла BCA, обозначим её как AD.
3. Точка P на стороне AC такая, что LB - биссектриса угла BLP, где B - вершина угла, P - точка на стороне AC, а L - точка пересечения биссектрисы угла BLP и стороны BC.

Нам также известно, что BL = CP.

Чтобы доказать, что угол ABC вдвое больше угла BCA, нам нужно использовать информацию о биссектрисах углов. Давайте начнем с того, что биссектрисы углов делят противоположные стороны треугольника пополам.

Из данной информации мы можем сделать следующие выводы:

1. В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC на две равные части, пусть точка деления называется M.

2. Так как LB - биссектриса угла BLP, она делит сторону BP пополам в точке L.

3. Также, так как BL = CP, то треугольники BLP и PCB равнобедренные (BL = LB, CP = PB).

Теперь давайте рассмотрим угол BCA и угол ABC. Обозначим угол BCA как x, а угол ABC как 2y.

Поскольку AD - биссектриса угла BCA, она делит угол BCA пополам. Таким образом, мы имеем два угла размером x/2.

Также, из-за того, что BL = CP и треугольники BLP и PCB равнобедренные, у нас есть два угла в треугольнике BLP, равных y.

Итак, суммируя все углы в треугольнике ABC, мы имеем:

x/2 + y + y = x/2 + 2y = x + y.

Но мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, так как треугольник ABC является треугольником:

x + y = 180°.

Теперь давайте рассмотрим угол ABC, который составляет 2y. Подставив значение x + y, полученное выше, мы имеем:

2y = 180°, y = 90°.

Итак, угол ABC равен 2 * 90° = 180°, а угол BCA равен x = 90°.

Доказано, что угол ABC вдвое больше угла BCA.