Question

2.В параллелограмме EFPS диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OE, OF, OP и OS – параллелограмм. СРОЧНО ПОМОГИТЕ ЧЕРЕЗ 7 МИНУТ НУЖНО СДАТЬ СУМАТИВКУ.​

Answer 1

Я думаю это доказывается с помощью свойства диагоналей параллелограмма:

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Но не знаю как это может помочь

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства серединных перпендикуляров.

1. Свойства параллелограмма:

   • Противоположные стороны параллельны.
   • Противоположные стороны равны по длине.
   • Противоположные углы равны.

2. Свойства серединных перпендикуляров:

   • Серединный перпендикуляр к отрезку является половиной этого отрезка.
   • Серединные перпендикуляры к двум пересекающимся отрезкам перпендикулярны.

Дано, что EFPS - параллелограмм, и его диагонали EO и FP пересекаются в точке O. Следовательно, EO || FP и EO = FP.

Пусть M, N, Q и R - середины отрезков OE, OF, OP и OS соответственно.

Мы хотим доказать, что ABCD - параллелограмм, то есть:

1. AB || CD
2. AB = CD

Рассмотрим отрезок EN. Так как N - середина отрезка OF, то по свойствам серединных перпендикуляров:

1. EN || FP (поскольку они оба перпендикулярны к OF).

Теперь рассмотрим отрезок MQ. Так как Q - середина отрезка OP, то по свойствам серединных перпендикуляров:

2. MQ || OP (поскольку они оба перпендикулярны к OP).

Поэтому у нас есть две пары параллельных сторон: EN || FP и MQ || OP.

Теперь давайте рассмотрим треугольник EFP. Согласно свойствам параллелограмма, мы знаем, что EF || OP и EF = OP.

Так как у нас есть две параллельные стороны (EN || FP и EF || OP), и одна общая сторона (EF), мы можем применить свойство параллелограмма и сказать, что треугольники ENF и FPQ равны. Это можно записать как:

EN = FP NF = PQ

Теперь рассмотрим отрезок NR. Так как R - середина отрезка OS, то по свойствам серединных перпендикуляров:

3. NR || OS (поскольку они оба перпендикулярны к OS).

Теперь у нас есть EN || FP, MQ || OP и NR || OS.

Вернемся к параллелограмму EFPS. Мы можем рассмотреть треугольник EPS. Снова, согласно свойствам параллелограмма, EPS || OP и EPS = OP.

Так как у нас есть две параллельные стороны (EN || FP и EPS || OP) и одна общая сторона (EP), мы можем применить свойство параллелограмма и сказать, что треугольники ENP и FPS равны. Это можно записать как:

EN = FP EP = PS

Теперь мы имеем: EN = FP EP = PS EN = FP

Это означает, что треугольники ENP, FPS и NFQ равны между собой. Так как треугольники равны, их соответствующие стороны также равны:

EN = FP EP = PS NF = PQ

Теперь мы можем использовать эти равенства для доказательства свойств параллелограмма ABCD.

AB = EN + EP (по определению серединных отрезков) = FP + PS (потому что EN = FP и EP = PS) = FP + NF (потому что EP = PS и NF = PQ) = EN + PQ (потому что EN = FP и NF = PQ) = EQ (по определению серединных отрезков)

Аналогично, можно показать, что CD = EQ.

Итак, мы доказали, что AB = CD и AB || CD, что означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.