Question

Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 2√3.Найдите AB если угол ACB равен 120 градусов ​

Answer 1

Чертеж здесь не обязателен. т.к. я на него не делаю ссылки. Чисто проверка формулы отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла , равно двум радиусам, откуда искомая сторона АВ= 2*2√3*√3/2=6, т.к. АВ/sinACB=2*R

Ответ 6

Answer 2

Мы знаем, что радиус описанной окружности треугольника связан с его сторонами через следующую формулу:

$R = \frac{abc}{4K},$

где $R$ - радиус описанной окружности, $a, b, c$ - стороны треугольника, $K$ - его площадь.

Также известно, что для треугольника:

$K = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C),$

где $C$ - угол между сторонами $a$ и $b$.

Подставляя в первую формулу значение $K$ из второй:

$R = \frac{2ab\sin(C)}{4 \cdot \frac{1}{2} ab \sin(C)} = \frac{\sin(C)}{2},$

где $R = 2\sqrt{3}$, а $C = 120^\circ$.

Теперь мы можем решить уравнение:

$2\sqrt{3} = \frac{\sin(120^\circ)}{2}.$

Сначала найдем $\sin(120^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin(60^\circ)$, и также известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем этот результат обратно в уравнение:

$2\sqrt{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}.$

Теперь решим уравнение относительно $ab$:

$ab = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4.$

Таким образом, сторона $AB$ равна 4.