Question

В прямоугольной трапеции ABCD (BC ║ AD) ∠A – прямой, BC = a, угол BCD в 2 раза больше угла CDA, диагональ BD – биссектриса ∠CDA. Найдите основание AD. С решением

Answer 1

Ответ: AD=1,5 a

Объяснение:  Примем угол АDС=х. Тогда по условию угол ВСD=2х.

 Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных  прямых ( ВС и AD) секущей (CD) равна 180°.

∠ВСD +∠CDA=2х+х=180°=>

х=180°:3=60°

СВD=∠BDA (накрестлежащие).

      Биссектриса ВD делит угол CDA пополам. ∠СВD=∠BDС

∆ ВСD - равнобедренный по равенству углов при основании .

CD=BC=a;

СН -высота трапеции. ∆СDH - прямоугольный.  

∠DCH=180°-90°-60°=30°.

Катет HD противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы CD. HD=0,5a.

АН=ВС=а

AD=a+0,5a=1,5 a.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где BC параллельно AD. Пусть BC = a, и ∠A – прямой угол.

Условие гласит, что угол BCD в 2 раза больше угла CDA. Обозначим угол CDA как x градусов, тогда угол BCD равен 2x градусов.

Также говорится, что диагональ BD является биссектрисой угла CDA. Это означает, что угол BDC равен углу ADC, то есть 2x градусов.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник BCD. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам, поэтому:

2x + 2x + угол BCD = 180 градусов.

Учитывая, что угол BCD равен 2x, мы можем записать:

2x + 2x + 2x = 180 градусов.

Сложим все углы:

6x = 180 градусов.

Теперь найдем значение x:

6x = 180 градусов.

x = 180 градусов / 6 = 30 градусов.

Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем найти угол BCD:

Угол BCD = 2x = 2 * 30 градусов = 60 градусов.

Теперь у нас есть угол BCD, и мы знаем, что это угол в прямоугольной трапеции. Поскольку сумма углов в прямоугольной трапеции равна 360 градусам, мы можем найти угол BAC следующим образом:

Угол BAC = 360 градусов - угол BCD - 90 градусов (так как ∠A – прямой угол).

Угол BAC = 360 градусов - 60 градусов - 90 градусов = 210 градусов.

Теперь у нас есть угол BAC, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения основания AD.

Мы знаем, что:

cos(BAC) = AD / BC.

cos(210 градусов) = AD / a.

cos(210 градусов) равен -1 (поскольку cos(210 градусов) отрицателен), поэтому:

-1 = AD / a.

Теперь найдем AD:

AD = -a.

Итак, основание AD равно -a.