Question

На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отмечены точки E и F соответственно. Отрезки AF и DE пересекаются в точке M, а отрезки BF и CE в точке N. S AME=49 S ENB=1 S ​CNF=25. Найдите S MEF

Answer 1

S(ABF) =S(CDE) (равные основания, общая высота)

Вычитая общую часть ENFM, получаем

S(AME)+S(ENB) =S(CNF)+S(FMD) => S(FMD) =49+1-25 =25

S(AEF)=S(AED) (общие основание и высота)

S(MEF) =S(AEF)-S(AME) =S(AED)-S(AME) =S(AMD)

S(AME)/S(MEF) =AM/MF =S(AMD)/S(FMD) (общая высота => площади относятся как основания)

S(MEF)*S(AMD) =S(AME)*S(FMD) =>

S(MEF) =√(S(AME)*S(FMD)) =√(49*25) =35

Answer 2

Для нахождения площади треугольника MEF, нам понадобятся следующие факты:

1. Площадь треугольника равна половине произведения его базы (основания) на высоту, проведенную к этой базе.

2. Если два треугольника имеют общее основание и высоту, то отношение их площадей равно отношению длин их других сторон.

3. Если у треугольников есть общая вершина и параллельные стороны, то отношение их площадей равно отношению площадей базы (основания).

Теперь мы можем использовать эти факты для нахождения площади треугольника MEF.

Площадь треугольника SAM равна S_AME, которая равна 49.

Площадь треугольника SEN равна S_ENB, которая равна 1.

Площадь треугольника CNF равна S_CNF, которая равна 25.

Теперь мы можем использовать факт (2) для нахождения отношения площадей треугольников MEF и SEN:

S(MEF) / S(SEN) = ME / SE

Аналогично, мы можем использовать факт (2) для нахождения отношения площадей треугольников SEN и CNF:

S(SEN) / S(CNF) = SE / CF

Известно, что S(CNF) = 25, поэтому мы можем найти SE:

SE = S(SEN) * CF / S(CNF) = 1 * CF / 25 = CF / 25

Теперь мы можем использовать факт (3) для нахождения отношения площадей треугольников MEF и SAM:

S(MEF) / S(SAM) = ME / MA

Где MA - это длина отрезка MA, и мы знаем, что MA = ME + EA.

Теперь мы можем найти MA и ME. Мы уже нашли, что SE = CF / 25, и EA равна части отрезка EA, соответствующей SE, поскольку параллелограмм ABCD, отрезки AE и CD параллельны и соответствуют друг другу. Таким образом, EA = CF / 25.

Теперь мы можем выразить MA и ME:

MA = ME + EA = ME + CF / 25 ME = MA - CF / 25

Теперь мы можем использовать отношение площадей треугольников MEF и SAM:

S(MEF) / S(SAM) = ME / MA

S(MEF) / 49 = (MA - CF / 25) / MA

Теперь мы можем решить это уравнение относительно S(MEF):

S(MEF) = 49 * (MA - CF / 25) / MA

Теперь нам нужно найти MA. Мы видели ранее, что MA = ME + CF / 25, и ME = MA - CF / 25, поэтому мы можем сформулировать уравнение:

MA = MA - CF / 25 + CF / 25

CF / 25 отменяется, и мы получаем:

MA = MA

Это значит, что MA может быть любым числом, и площадь треугольника MEF зависит от MA. Следовательно, мы не можем точно найти площадь треугольника MEF без дополнительной информации о MA.