Question

1. В четырехугольнике ABCD угол A + угол B = 180°, АВ║CD. На сторонах ВС и AD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ = KD. Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника. 2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В соответственно, МР = РВ = АК; угол MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН. 3. На основании АС равнобедренного треугольника ABC отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС - точки М и Р соответственно, причем РК = MB, угол KPC = 80°, угол С = 50°. Докажите, что КМВР - параллелограмм.

Answer 1

....................

Answer 2

Задача 1: Доказательство равенства расстояний от точек М и К до точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.

Дано: - Четырехугольник ABCD, где угол A + угол B = 180° и AB || CD. - Точки М и К на сторонах ВС и AD соответственно, так что ВМ = KD.

Нам нужно доказать, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABM и DCK. - AB || CD (дано) - ВМ = KD (дано) - AB = CD (по условию угол A + угол B = 180°) 2. Из этих условий следует, что треугольники ABM и DCK равны по стороне-стороне-стороне (SAS). - ВМ = KD (дано) - AB = CD (по условию угол A + угол B = 180°) - AM = CK (по равенству противоположных сторон)

3. Следовательно, углы BMA и CKD также равны. - Из равенства треугольников ABM и DCK следует, что угол BMA = угол CKD.

4. Рассмотрим треугольники AKB и CMB. - AB || CD (дано) - ВМ = KD (дано) - АК = CB (по равенству противоположных сторон) 5. Из этих условий следует, что треугольники AKB и CMB равны по стороне-стороне-стороне (SAS). - ВМ = KD (дано) - АК = CB (по равенству противоположных сторон) - AKB = CMB (по равенству углов BMA и CKD)

6. Следовательно, углы AKM и CKB также равны. - Из равенства треугольников AKB и CMB следует, что угол AKM = угол CKB.

7. Таким образом, мы доказали, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. - Угол BMA = угол CKD - Угол AKM = угол CKB

Вывод:

Точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.

Задача 2: Нахождение углов параллелограмма и сравнение отрезков ВМ и АН.

Дано: - Параллелограмм МРКН, где МР = РВ = АК. - Угол MPB = 60°.

Нам нужно найти углы параллелограмма и сравнить отрезки ВМ и АН.

Решение:

1. В параллелограмме МРКН, противоположные углы равны. - Угол MPB = 60° (дано) - Угол М = 180° - угол MPB = 180° - 60° = 120° 2. Углы параллелограмма МРКН равны. - Угол М = 120° (вычислено) - Угол Р = 180° - угол М = 180° - 120° = 60° - Угол К = 180° - угол Р = 180° - 60° = 120° - Угол Н = 180° - угол К = 180° - 120° = 60°

3. Отрезки ВМ и АН равны. - ВМ = МР + РВ = АК + РВ (по условию) - ВМ = АК + МР = АК + АК = 2АК - АН = АК + КН (по условию) - АН = АК + КР = АК + АК = 2АК

Вывод:

Углы параллелограмма МРКН равны: угол М = 120°, угол Р = 60°, угол К = 120°, угол Н = 60°. Отрезки ВМ и АН имеют одинаковую длину и равны 2АК.

Задача 3: Доказательство параллелограмма КМВР.

Дано: - Основание АС равнобедренного треугольника ABC. - Точка К на основании АС. - Точки М и Р на сторонах АВ и ВС соответственно, причем РК = МВ. - Угол KPC = 80°, угол С = 50°.

Нам нужно доказать, что КМВР - параллелограмм.

Доказательство:

1. Так как угол KPC = 80°, то угол К = 180° - 80° = 100°. 2. Так как угол С = 50°, то угол В = 180° - 50° = 130°. 3. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то угол А = угол В = 130°. 4. Так как угол К = угол А = 100°, то треугольник КАМ - равнобедренный. 5. Так как РК = МВ, то треугольники КРК и МВК равны по стороне-стороне-стороне (SAS). - РК = МВ (дано) - КР = КМ (по равенству противоположных сторон) - КМ = ВК (по равенству противоположных сторон) 6. Следовательно, углы КРК и МВК равны. - Из равенства треугольников КРК и МВК следует, что угол КРК = угол МВК. 7. Таким образом, мы доказали, что КМВР - параллелограмм. - Угол КРК = угол МВК

Вывод:

Параллелограмм КМВР.